Определение передаваемых частот Опции

[Kseniia]

Всем доброго времени суток!

Задача: есть DTMF метка, необходимо определить частоты которые передавались, с точностью до 3го знака после запятой. (DTMF - передается сумма двух гармоник, НЧ и ВЧ)

Что проделано:
выделяю из сигнала DTMF, fd=44100 Гц, для того, чтобы N была кратна двум, и равнялась 2048, немного обрезаю сигнал до 0.046 секунд (было 0.05 сек), таким образом T=1/fd=2.268*10^5.
Беру БПФ, строю график зависимости уровня(?)(20 log(sqwr(ReБПФ^2+ImБПФ^2)/fd-N), дБ от частоты, Гц (прикрепляю скрин, freqn=n*fd/N, n=0,...,N-1).

Пики приходятся на 947,46Гц и 1205,9Гц, хотя должны быть 941Гц и 1209Гц. такая разница по видимому из-за огромного ШАГА по частоте, в 21,55 Гц, то есть передаваемые частоты не кратны нашему "шагу".

Что делать дальше - не понимаю.
Пробовала инетрполяцию Лагранжа - чушь полная, не получается.
Есть предложение использовать коэффициенты корреляции, относительно синусоидального и косинусоидального сигналов, но результатов пока не дал, да и не до конца понятно, что с этими коэф делать.

вопрос: Как математически можно определить частоты?

[Fourier]

Вам тут уже советовали алгоритм MUSIC. Он дает очень хороший результат по точности. Для него не надо генерировать базисных функций, сетка частот заранее не задана. Процедура БПФ тоже не требуется.
В матлабе функция music возвращает оценку частот. Алгоритм основан на разложении оценки автокорреляционной матрицы на собственные вектора, по-моему есть быстрые алгоритмы. Посмотрите в сторону него.
Так же можно попробовать модернизированный ковариационный метод, который есть так же в матлабе - функция armcov. Она возвращает оценку АР-параметров модели сигнала, чтобы посчитать частоты надо вычислить комплексные корни характеристического полинома построенного по АР-параметрам, а потом посчитать их аргумент. Процедура БПФ так же не требуется, сетка частот не задана. Если у вас две комплексные экспоненты, то этот метод может быть эффективнее, чем БПФ и в плане точности и в плане быстродействия.

Однако, следует помнить, что параметрические методы могут быть неустойчивыми к помехам, с которыми не согласуется выбранная модель сигнала.

Насчет точности измерения. В книге Кея "Kay S.M. Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory (v.1). Prentice Hall, Upper Sadle River, NJ, 1998. 595 p." на 542 странице есть выражение границы Крамера-Рао для оценки частоты комплексной экспоненты на фоне шума. Попробуйте подставить в формулу Ваши условия, может быть такая точность и теоретически то не достижима)))