Определение передаваемых частот Опции

[Kseniia]

Всем доброго времени суток!

Задача: есть DTMF метка, необходимо определить частоты которые передавались, с точностью до 3го знака после запятой. (DTMF - передается сумма двух гармоник, НЧ и ВЧ)

Что проделано:
выделяю из сигнала DTMF, fd=44100 Гц, для того, чтобы N была кратна двум, и равнялась 2048, немного обрезаю сигнал до 0.046 секунд (было 0.05 сек), таким образом T=1/fd=2.268*10^5.
Беру БПФ, строю график зависимости уровня(?)(20 log(sqwr(ReБПФ^2+ImБПФ^2)/fd-N), дБ от частоты, Гц (прикрепляю скрин, freqn=n*fd/N, n=0,...,N-1).

Пики приходятся на 947,46Гц и 1205,9Гц, хотя должны быть 941Гц и 1209Гц. такая разница по видимому из-за огромного ШАГА по частоте, в 21,55 Гц, то есть передаваемые частоты не кратны нашему "шагу".

Что делать дальше - не понимаю.
Пробовала инетрполяцию Лагранжа - чушь полная, не получается.
Есть предложение использовать коэффициенты корреляции, относительно синусоидального и косинусоидального сигналов, но результатов пока не дал, да и не до конца понятно, что с этими коэф делать.

вопрос: Как математически можно определить частоты?

[serjj]

я вот какой выход нашла, и без всякого БПФ... если ошибаюсь - подправьте пожауйста, если Вы именно это и советовали, то я пропустила - прошу прощения...
имеем сигнал s(x), далее находим составляющие коэф корреляции по синусу и по косинусу, и коэф корреляции, строим график, определяем максимумы, видно, что небольшая погрешность есть, но результат очень близок к истине.
...
шаг меняла, от шага зависит только график, а значения Xmax не изменяются.

Приведенные вами формулы не что иное как сэмплирование DTFT вашего сигнала. DFT и FFT тоже сэмплированный DTFT только с другими параметрами сэмплирования. Почитать можно например здесь. Если вы будете уменьшать частотный шаг, вы будете получать все больше точек DTFT функции, но разрешающая способность определяется только длиной исходной выборки вашего сигнала. Интерполяция DFT(FFT) в окрестностях максимума для уточнения результата - это восстановление значений функции DTFT в окрестностях этого самого максимума. Так что приведенные формулы корреляций не дадут результата принципиально иного в сравнении с Фурье преобразованием, т.к. математика там абсолютно одинаковая (внимательно сравните ваши формулы с формулировкой преобразования Фурье). Окно у вас действительно прямоугольное, т.к. данные перед преобразованием вы никак не взвешиваете.

[Kseniia]

Приведенные вами формулы не что иное как сэмплирование DTFT вашего сигнала. DFT и FFT тоже сэмплированный DTFT только с другими параметрами сэмплирования. Почитать можно например здесь. Если вы будете уменьшать частотный шаг, вы будете получать все больше точек DTFT функции, но разрешающая способность определяется только длиной исходной выборки вашего сигнала. Интерполяция DFT(FFT) в окрестностях максимума для уточнения результата - это восстановление значений функции DTFT в окрестностях этого самого максимума. Так что приведенные формулы корреляций не дадут результата принципиально иного в сравнении с Фурье преобразованием, т.к. математика там абсолютно одинаковая (внимательно сравните ваши формулы с формулировкой преобразования Фурье). Окно у вас действительно прямоугольное, т.к. данные перед преобразованием вы никак не взвешиваете.

спасибо, пересчитала с оконной функцией. В данном случае возникает другая проблема. Если я ЗНАЮ какая частоты была при формировании, то я могу подобрать альфа, НО подобранная альфа для одного сигнала - не подходит для другого сигнала (опять же мною сформированного), что уж тогда говорить о сигнале, который я получу извне?

еще вопрос, то что для сумм гармонических сигналов лучше использовать окно Гаусса, я прочитала, но почему?
Правильно ли я понимаю, что Гаусса выбираем, так как при окне Гаусса мы имеем наименьшую величину смещения оценки основной частоты напряжения? Но так ведь она зависит от альфа... Поясните пожалуйста.

на счет окон, близка ли мое предположение к реальности, как думаете?

В DTMF может быть 16 вариантов позиций (от 697 и 1209 до 941 и 1633), если я создам 16 символов, для них подберу лучшую альфа, то можно ли в дальнейшем применить это значение альфа к другим образцам, извне? насколько это может быть полезным? с учетом что у меня, в моем дтмф нет шума, а он, насколько я понимаю, должен быть...

[blackfin]

Правильно ли я понимаю, что Гаусса выбираем, так как при окне Гаусса мы имеем наименьшую величину смещения оценки основной частоты напряжения? Но так ведь она зависит от альфа... Поясните пожалуйста.

Окно Гаусса, помимо всего прочего, хорошо ещё и тем, что для случая непрерывного времени и в предположении, что максимумы спектра смещаются незначительно: Δf << f,
можно найти верхнюю оценку для смещения частоты Δf в зависимости от ширины окна причем, чисто аналитически и в явном виде.
Это позволяет выбрать минимально возможную для заданной точности Δf ширину окна (без учета шума, есс-но).

На практике, для окна Гаусса заданного формулой:

g(t) = exp(-t²/T²),

и для взвешенной суммы гармоник заданной формулой:

s(t) = g(t)*[cos(2*pi*f₁*t) + cos(2*pi*f₂*t)],

получаем верхнюю оценку для смещения частоты Δf = f_max - f₁, равную:

Δf = exp(-pi²*(f₂ - f₁)²*T²)*(f₂ - f₁).

Для относительного смещения Δf/f₁ это дает:

Δf/f₁ = exp(-pi²*(f₂ - f₁)²*T²)*(f₂ - f₁)/f₁.

Для относительного смещения равного Δf/f₁ = 10^-6, это дает:

T_min = {1/[pi*(f₂ - f₁)]} * sqrt(ln[f₁/Δf] + ln[(f₂ - f₁)/f₁]), или:

T_min ~= {1/[pi*(1209 - 941)]} * sqrt(ln[284803]) = {1/[pi*(1209 - 941)]} * 3,544 = 4,21 [мс].