как доказать, что число 2^x может быть поделено нацело только числом вида 2^y, где y<=x? И никаким другим числом не может, (в качестве разминки для мозгов) Опции

[Krys]

Здравствуйте. Вопросик в качестве разминки для мозгов:
Как математически доказать, что число 2^x может быть поделено нацело только числом вида 2^y, где y<=x, и никаким другим числом не может (или наоборот может и ещё есть какие-то числа)?

Т.е. например число 2 в 12 степени это 4096 нацело делится двойкой в любой степени до 12 и ничем другим. Т.е. для меня важно доказать, что нет ничего другого, кроме 2^y

[AlexeyW]

Задача для разнообразия: перемножаем числа от 1 до 99, сколько нулей будет в конце результата?
А можно еще попробовать в общем виде - от 1 до N.

[iiv]

ну раз ту все задачки выкладывают, можно я на злобу дня (года) выложу: как доказать, что число 1010...10101, в котором 2016 нулей не является простым? Как подсказку, озвучу один из делителей 80681

[jks]

ну раз ту все задачки выкладывают, можно я на злобу дня (года) выложу: как доказать, что число 1010...10101, в котором 2016 нулей не является простым? Как подсказку, озвучу один из делителей 80681

Не силен я в математике но как-то так думаю.
Число 101010....10101<4033> содержит 2016*2 + 1 дес. цифр.
Если умножить 101010....10101<4033> на 11 , то получим число с одними единицами (репьюнит Rn(N=4034)).
101010....10101<4033> * 11 = 11111...11<4034> = RN(4034)
Так как N - четно его можно представить в виде произведения:
RN(4034) = 111...111<2017> * 100...001<2018>
число 100...001<2018> делится на 11 т.к. содержит 2 единицы и четное число групп из двух цифр.
100...001<2018> mod(11) == 0, 10000...0001<2018> : 11 = 909090...9091<2016>
т.о. 101010....10101<4033> = 111...11<2017>*909090....91<2016>.
т.е. 101010....10101<4033> содержит по крайней мере два делителя 111...111<2017> и 9090...9091<2016>.
один из делителей 9090...9091<2016> равен 80681.
другие делители можно найти после факторизации (или в интернете).