Коэффициент усиления цифрового фильтра Опции

[Verizon]

Имеется структурная схема алгоритма цифровой обработки информации в которой есть цифровые КИХ фильтры. Данные на отдельный фильтр поступают в формате 12 бит со знаком. Коэффициенты в формате 16 бит со знаком. Как в этом случае рассчитывается коэффициент усиления такого фильтра?

[Guest_TSerg_*]

Все очень просто: усиление присуще только аналоговым системам.
Термин "усиление", которым оперируют в ЦОС (т.е. на уровне дискретного сигнала) - на самом деле, это масштабирование, поскольку при этом не порождается новых значений на выходе в промежутке между исходными значениями на входе.
Да, можно говорить об интерполяции и пере-дискретизации, но это искусственные приемы, которые только предполагают, что так оно будет в промежутке между дискретами.

При проектировании цифровых фильтров, да, может использоваться термин "усиление", но на стадии математических выкладок.
Пример.

Простейший рекурсивный ФНЧ первого порядка описывается разностным уравнением:

Y[i] = a * Y[i-1] + b * X[i] (1)

Как правило, принимается a + b = 1. В этом случае, коэффициент усиления (передачи) на нулевой частоте K(0) = 1.

Предположим, мы выбрали ( по тем или иным соображениям и это известно, как выбирать):
a = 0.1
b = 0.9

Предположим, что у нас сетка 16р, включая знак.
В этом случае, масштабный множитель для перевода из десятичной системы в целочисленную равен 2^15-1 = 32767

Тогда:
a = 0.1 * 32767 = 3276.7 = 3277
b = 0.9 * 32767 = 29490.3 = 29490
В целочисленной сумме a + b = 32767, что эквивалентно К(0) = 1 (коэффициент передачи на нулевой частоте)

Алгоритм вычисления реакции фильтра:
Y[i] = 3277 * Y[i-1] + 29490 * X[i]

Можно ли назвать числа 3277 и 29490 коэффициентами усиления по конкретной переменной? Назвать-то можно, только это уже кодирование и к математике оно имеет относительное отношение.

Предположим входной сигнал имеет дискретность 12р, включая знак. Т.е. максимальные входные числа: (+/-) 2047
Можно ли сказать, что в результате умножения 2047 на 3277 мы получили усиление в почти 7 миллионов раз?
Такое утверждение - чушь собачья.
Это просто результат умножения кодов.

Теперь, насчет усиления в (1)

Что нам мешает написать:

Y[i] = K * (a * Y[i-1] + b * X[i] (1)), где K - типа коэффициент усиления?
Ничто не мешает, как не мешает это и реализовать.
Все, что потребуется ( если говорим о целочисленных вычислениях) - это перейти к большей длине сетки, дабы не потерять значимые разряды или не влететь в переполнение.

Будет ли это считаться коэффициентом усиления?
Абстрактно, по математике и до перевода в цифру - да, можно так сказать.
После перехода к дискретам - конечно же нет.
Это всего лишь коэффициент масштабирования.

[Verizon]

Теперь, насчет усиления в (1)

Что нам мешает написать:

Y[i] = K * (a * Y[i-1] + b * X[i] (1)), где K - типа коэффициент усиления?
Ничто не мешает, как не мешает это и реализовать.
Все, что потребуется ( если говорим о целочисленных вычислениях) - это перейти к большей длине сетки, дабы не потерять значимые разряды или не влететь в переполнение.

Будет ли это считаться коэффициентом усиления?
Абстрактно, по математике и до перевода в цифру - да, можно так сказать.
После перехода к дискретам - конечно же нет.
Это всего лишь коэффициент масштабирования.

Спасибо. Доходчиво.
Если рассуждать на уровне коэффициентов фильтра: можно же просто поделить все коэффициенты на наименьшее значение. Тем более, что они все симметричны. И что тогда? Очевидно фильтр останется прежним. Но если пересчитать так называемый "коэффициент" то он может измениться в сотню раз. Что получается. Один и тот же фильтр имеет разные коэффициенты усиления? Очевидно, что так рассуждать нельзя. Скорее всего к фильтру можно применять фразу масштабирование. Будут-ли такие рассуждения тоже корректны?

Продолжая учебник,
можно сказать, что понятное вам 16-разрядное целое число имеет формат 16.0, т.е. все разряды располагаются слева от разделителя целой и дробной части и имеют веса 1,2,4,8 и т.д. Формат 1.15 - это когда 1 разряд в целой части, а остальные 15 - в дробной. Веса разрядов справа от точки будут соответственно 1/2, 1/4, 1/8 и т.д. Точно также в десятичной системе веса цифр в целой части равны положительным степеням десятки, а в дробной - отрицательным.
И все это - форматы с фиксированной точкой.

Спасибо. Понятно.

[Guest_TSerg_*]

Спасибо. Доходчиво.
Если рассуждать на уровне коэффициентов фильтра: можно же просто поделить все коэффициенты на наименьшее значение.

Вы просто не путайте математику ЦОС и ее реализацию на абстрактных, тем более - конкретных платформах + "свои" алгоритмы на каждой из них.

P.S.
Вы, "нормальные" книжки/учебники по ЦОС (DSP) читать не пробовали?
Позвольте, но это же увлекательнейшее занятие!

Гольденберг, Блейхут, Рорабаух, Голд, Рейдер, Рабинер, ...etc

[Verizon]

Вы просто не путайте математику ЦОС и ее реализацию на абстрактных, тем более - конкретных платформах + "свои" алгоритмы на каждой из них.

P.S.
Вы, "нормальные" книжки/учебники по ЦОС (DSP) читать не пробовали?
Позвольте, но это же увлекательнейшее занятие!

Гольденберг, Блейхут, Рорабаух, Голд, Рейдер, Рабинер, ...etc

Да. Понятно. Не то.
Книжки читаю. Наскоками. Возня с железом занимает много времени. Там тоже свои приколы с которыми нужно возиться...