как доказать, что число 2^x может быть поделено нацело только числом вида 2^y, где y<=x? И никаким другим числом не может, (в качестве разминки для мозгов) Опции

[Krys]

Здравствуйте. Вопросик в качестве разминки для мозгов:
Как математически доказать, что число 2^x может быть поделено нацело только числом вида 2^y, где y<=x, и никаким другим числом не может (или наоборот может и ещё есть какие-то числа)?

Т.е. например число 2 в 12 степени это 4096 нацело делится двойкой в любой степени до 12 и ничем другим. Т.е. для меня важно доказать, что нет ничего другого, кроме 2^y

[OlegNS]

Число "1010...10101, в котором 2016 нулей" = 10^0 + 10^2 + 10^4 + ... + 10^2016, что как сказал RCray действительно является геометрической прогрессией и ее сумма равна 10^0*(100^2017 - 1)/(100 -1). Как видно число делится на на 99, а также на 3, 33, 11, 9.

[Maverick]

ну раз ту все задачки выкладывают, можно я на злобу дня (года) выложу: как доказать, что число 1010...10101, в котором 2016 нулей не является простым? Как подсказку, озвучу один из делителей 80681

Данное число А= 1+100+10000+… — сумма 2017 членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 100. Тогда по формуле суммы
А=(100^2017-1)/(100-1) => 99А = 10^4034 — 1 = (10^2017+1)(10^2017-1), как разность квадратов.
Каждый из множителей правой части равенства больше 99, а значит меньше А.
Следовательно, с каждым из чисел (10^2017+1) и (10^2017-1) наше число А имеет общий делитель, отличный от 1 и А.
В общем случае аналогично можно доказать, что любое число вида 101..01, кроме 101, является составным.

Правильно?