Я с http особо не сталкивался, так что могу только теоретизировать. Самый простой режим - клиент устанавливает соединение и посылает сообщение. Сервер отвечает, клиент получает сообщение-ответ и разрывает соединение.
Сообщение состоит из заголовков и тела (собственно см тут
https://ru.wikipedia.org/wiki/HTTP). Заголовки и тело отправляются в установленное соединение, затем оттуда же вычитывается ответ.
Для работы с прокси-сервером надо добавить специальные заголовки для этого прокси. Тут я подробностей не знаю, читайте описание протокола.
Что касается библиотек - возьмите ту, что попроще и попробуйте собрать

Придется подменять системные вызовы на методы lwip. Насколько это просто сделать и стоит ли вообще овчинка выделки - смотрите сами.