Получение средневзвешенного с учетом, что дисперсии имееют разную точность., Нужна помощь специалиста по обработке измерений. Опции

[Santy]

Суть вопроса .
Получено n неравноточных измерений: { X1,X2.......Xn}
Каждое из полученных измерений имеет приближенное значение дисперсии
(при чем чем меньше значение дисперсии измерения тем более точна оценка
дисперсии данного измерения):
{Var1,Var2......Varn}.
Мы можем посчитать так же соответствующие дисперсии наших дисперсий :
{VarVar1,VarVar2......VarVarn}.

Дисперсию каждой из точек измерения я получаю по формуле в которую
входит коэффициент Pi(который имеет дисперсию VarPi при чем чем больше
коэффициен Pi тем меньше VarPi),при чем чем больше коэффициен Pi тем
меньше Vari.
Получается Pi является аргументом Var i.
Далее дисперсию дисперсии для i-го измерения я получаю по известной в
теории формуле c помощью
дифференцирования:

Var(Vari(Pi))=(((dVari(Pi))/(dPi))^2)*VarPi

Как правильно посчитать средневзвешенное значение (т.е среднее значение
неравноточных) полученных измерений ?

[Tanya]

Суть вопроса .
Получено n неравноточных измерений: { X1,X2.......Xn}
Каждое из полученных измерений имеет приближенное значение дисперсии
(при чем чем меньше значение дисперсии измерения тем более точна оценка
дисперсии данного измерения):

Как правильно посчитать средневзвешенное значение (т.е среднее значение
неравноточных) полученных измерений ?

Чтобы дисперсия суммы с весами была минимальной надо, чтобы веса были обратно пропорциональны
сигме в квадрате... Сумма весов=1

[Oldring]

Чтобы дисперсия суммы с весами была минимальной надо, чтобы веса были обратно пропорциональны
сигме в квадрате... Сумма весов=1

Не совсем. Это было бы верно для нормальных независимых распределений точек с одинаковым матожиданием и известных их дисперсий. В данной задаче оценки дисперсий - сами случайные величины. Зависящие непонятно от чего и не могущие по понятным причинам иметь нормальное распределение. В общем хорошо бы для начала разобраться с этим распределением оценок дисперсий и допустимостью применения формулы с дифференцированием в данном конкретном случае. А дальше, действительно, можно исходить из того что матожидание и дисперсии точек всесте с Pi являются неслучайными неизвестными величинами и идти стандартным путем исходя из критерия максимального правдоподобия, например, для совместного определения неизвестных параметров. Получив какое-то близкое к оптимальному решение. Или не получив - из-за того, что конкретная нелинейная задача решаться в лоб не будет.

Правда, если человеку все-таки допустимо пользоваться формулой с дифференцированием, то ошибки дисперсий скорее всего малы по сравнению с дисперсиями, и использование оценок этих дисперсий вместо их истинного значения в Вашей формуле скорее всего даст решение не намного хуже оптимального.

[Tanya]

Не совсем. Это было бы верно для нормальных независимых распределений точек с одинаковым матожиданием и известных их дисперсий. В данной задаче оценки дисперсий - сами случайные величины. Зависящие непонятно от чего и не могущие по понятным причинам иметь нормальное распределение. В общем хорошо бы для начала разобраться с этим распределением оценок дисперсий и допустимостью применения формулы с дифференцированием в данном конкретном случае. А дальше, действительно, можно исходить из того что матожидание и дисперсии точек всесте с Pi являются неслучайными неизвестными величинами и идти стандартным путем исходя из критерия максимального правдоподобия, например, для совместного определения неизвестных параметров. Получив какое-то близкое к оптимальному решение. Или не получив - из-за того, что конкретная нелинейная задача решаться в лоб не будет.

Правда, если человеку все-таки допустимо пользоваться формулой с дифференцированием, то ошибки дисперсий скорее всего малы по сравнению с дисперсиями, и использование оценок этих дисперсий вместо их истинного значения в Вашей формуле скорее всего даст решение не намного хуже оптимального.

Да, конечно, но так как это все неизвестно, то модель с группировкой фиктивных единичных измерений с одинаковой априорной дисперсией по N(k) штук... Полностью соответствует поставленной задаче... А если N(k) большие, то по известной теореме... Более того, автор не спрашивал, какова вероятность того, что данный наилучший способ - наилучший...

[Oldring]

Да, конечно, но так как это все неизвестно, то модель с группировкой фиктивных единичных измерений с одинаковой априорной дисперсией по N(k) штук... Полностью соответствует поставленной задаче... А если N(k) большие, то по известной теореме... Более того, автор не спрашивал, какова вероятность того, что данный наилучший способ - наилучший...

Для того чтобы сказать, что оценка несмещенная - Известная Теорема не нужна. А как при помощи этой теоремы сделать вывод, что оценка наилучшая - я не понимаю. Более того, подозреваю, что это не так.

Автор просто просил неилучший способ, без всяких доказательств.

[fontp]

Для того чтобы сказать, что оценка несмещенная - Известная Теорема не нужна. А как при помощи этой теоремы сделать вывод, что оценка наилучшая - я не понимаю. Более того, подозреваю, что это не так.

Автор просто просил неилучший способ, без всяких доказательств.

Наилучший способ всегда, если не оговорено противное, предполагает, что распределения нормальные с известными оценками двух первых моментов. Интересней, когда измерения ещё и коррелированы, но и в этом случае помогает Известная Теорема.



Непрерывные измеримые величины не могут быть ненормальными. А единственный по-настоящему научный метод доказательства - это статвывод :-)