Разложение фунции, Разложение функции в ряд Гауссианов Опции

[MaxPIC]

Как можно выполнить разложение функции на Гауссы в заданном диапазоне [a,b].
Функция Гаусса Gauss(x,m,s)=1/(sqrt(2*Pi)*s)*exp(-(x-m)^2/(2*s^2)).
Ряд должен иметь следующую форму:
F(x)=A00+sum(sum(Aij*Gauss(x,m0+dm*i,s0+ds*j),i=0..N),j=0..M),
Причём m0,dm,N,s0,ds,M заданы и конечны. Aij - амплитуды, которые необходимо найти. Как можно выполнить такое разложение?

[Imath]

У вас, значит, не ряд, а конечная сумма все-таки. Следовательно, произвольную функцию вы можете только аппроксимировать, но не разложить (разложение - это точное равенство между функцией и рядом или суммой). Нет смысла искать скалярное произведение, тем более что через производную вы его точно не определите.

МНК тут тоже не подходит, т.к. применим лишь для аппроксимации в конечном числе точек. Можете взять конкретные отсчеты F(x): F(k) в точках Xk и применить МНК.

А если строго следовать вашей постановке задачи, то надо сначала выбрать норму, в которой будете аппроксимировать. Равномерная норма: ||f(x)||=max(|f(x)|), интегральная:
||f(x)||=int(|f(x)|*dx) и т.д. Тогда амплитуды Aij выбираете из условия минимизации некоторой нормы разности между исходной функцией и суммой гаусоид.

Интересно что именно и как вы сейчас реализовываете?
... и почему именно гаусоиды?

[AndrewN]

Интересно что именно и как вы сейчас реализовываете?

Вот именно. Мне сейчас кажется, что исходно это был вопрос на смекалку (или на засыпку) -
ряд не ряд, поточечная норма или интегральная, а все равно задача принадлежит к классу
некорректно поставленных - с вполне непрерывным оператором. И решать её надо соответствующим
способом, с применением регулязатора, и самое трудное - этот регулязатор построить.
Метод (т.е. регулязатор) Тихонова хорош для объяснения теории, но на практике он
хорошего решения не даст.

Гауссианы - я думаю, потому что где-то намеряли несколько пиков, которые друг на друга
налезают (я ещё видел, когда друг под другом сидят!) и не знают теперь что делать, нужно
разделить. А нужно спросить очень толкового математика-численника и регуляризировать
на основе всего, что известно apriori.
Я, в общем, из вышесказанного просил картинку показать.

Вот навскидку, пример некорректной задачи, система линейных уравнений:

2x + 3y = 4
4x + 6y = e

Очевидно что решения нет, потому что детерминант ноль, но в численных методах такое
бывает - намеряли коеффициентов для плохо обусловленной матрицы, она "слегка"
выродилась, а решение считать все равно надо. Обычно берут минимум нормы, или
сдвигом собственных чисел.

Over'n'out
--
AN