Оценка параметров, Как решать? Опции

[RHnd]

Добрый день! Помогите вот с такой задачкой.

Спарведливо выражение:

Код

  y    =   Q     *  X
[1x1]   [1xN]    [Nx1]

Доступны измерению Y и X. Теоретически, вектор Q постоянен. Но есть неприятность - измерения y и X шумят, да и на практике вектор параметров Q может обладать малым дрейфом. Теперь вопрос - как по измерениям (большому числу точек) получить оценку вектора Q(^), оптимальную, скажем, в смысле среднеквадратичной ошибки оценки y(^)=Q(^)*X. Ну или как-то еще оптимальную.

Заранее большое спасибо за помощь!

[NickNich]

Добрый день! Помогите вот с такой задачкой.

Спарведливо выражение:

Код

  y    =   Q     *  X
[1x1]   [1xN]    [Nx1]

Например так: сначала пепеписать уравнение наблюдения в слегка измененном виде y = x*q, чтобы q - стал вектором столбцом, а не строкой. После этого набрать измерения y для различных значений вектора x (различные вектора x здесь имеют принципиальное значение):

y1 = x1*q
y2 = x2*q
...
yN = xN*q

эту систему равенств записывается в векторно-матричном виде

Y = X*q.

Вектор q находится через МНК в виде q = (X'*X)^-1*X'*Y, где X' - транспонированная матрица X. Если измерения Y разноточные, то целесообразно ввести весовую матрицу W, но это можно сделать потом. Тогда решение станет в виде:

q = (X'*Ц*X)^-1*X'*W*Y

[RHnd]

Вектор q находится через МНК в виде q = (X'*X)^-1*X'*Y, где X' - транспонированная матрица X.

А чем эта запись отличается от простого X^-1*Y?


Хорошо, этот метод подходит для первых N точек. Пусть N у нас равен 5. Измерений же Y и X - несколько тысяч точек. По первым 5 мы получим одну оценку Q. По другим 5 - слегка другую оценку Q (шум, дрейф). Как нам 'усреднить' оценку Q по всем имеющимся измерениям? Интересует 'оптимальность' оценки именно на всем наборе точек.

PS:Так, понял, у Вас N - общее количество точек? Т.е. матрица X не квадратная? Спасибо, попробую.

[NickNich]

А чем эта запись отличается от простого X^-1*Y?

Как выправильно заметили, матрица X - не квадратная. Поэтому просто так обратить ее не получится. Мриведенный метод - это решение задачи оценки вектора постоянных параметров по набору зашумленных измерений, при котором достигается минимум суммы квадратов ошибок. Т.е. обычный линейный МНК.

Измерений же Y и X - несколько тысяч точек. По первым 5 мы получим одну оценку Q. По другим 5 - слегка другую оценку Q (шум, дрейф). Как нам 'усреднить' оценку Q по всем имеющимся измерениям? Интересует 'оптимальность' оценки именно на всем наборе точек.

Вот берите все несколько тыс. точек и рассчитывайте по ним оценку. Только всет строчки, образющие матрицу X должны быть различны, иначе получите плохо обусловленную систему уравнений. Если вектор параметров q дрейфует, то тут есть только два пути. Первый - расширить список оцениваемых параметров за счет модели систематического дрейфа. Второй - выделить во всем наборе данных отрезки, на которых вектор q почти стационарен и рассматривать оценку этого вектора только внутри тех отрезков, на которых она была получена.