Ошибка в теореме Котельникова ? Опции

[andran25]

Как известно из теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый
сигнал мог быть оцифрован а затем восстановлен, необходимо и
достаточно, чтобы частота дискретизации была больше или равна
верхней частоте аналогого сигнала.
Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда.
Тогда f = 1 / T = 1 герц, sin( ( 2*pi / T ) * t ) = sin( 2 * pi * t ),
частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды.
Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса
sin( 2 * pi * 0 ) = sin( 2 * pi * 0,5 ) = sin( 2 * pi * 1 ) = 0

Везде получаются нули.
Как же тогда можно восстановить этот синус ?

[rudy_b]

Цитата (http://robotcity.ru/content/view/485/32/)
Для полного восстановления непрерывной функции x(t) по значениям ее отсчетов нужно просуммировать бесконечное множество членов ряда (1.69).
См. также http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Котельникова. Здесь, как и во многих учебниках
обычно пропускают индексы в сумме. А они - от минус бесконечности, до бесконечности.

Посмотрите также http://graphics.cs.msu.su/courses/cg_el00/kotelnikov.pdf.

И не путайте формализм с физическим смыслом.

[GetSmart]

Для полного восстановления непрерывной функции x(t) по значениям ее отсчетов нужно просуммировать бесконечное множество членов ряда (1.69).
...
И не путайте формализм с физическим смыслом.

Я не путаю.
Применима ли ТК к конечному множеству отсчётов? Какие при этом возникают ограничения?

[wim]

Применима ли ТК к конечному множеству отсчётов? Какие при этом возникают ограничения?

ТК применяется не к отсчетам, а к функциям, имеющим спектр, т.е. интегрируемым. Непрерывный синусоидальный сигнал к таковым не относится, соответственно и ТК к нему неприменима. Впрочем, если хотите, можете попрактиковаться в рисовании спектра оного синуса, тока будьте осторожны - дельта-функция уходит в бесконечность, как бы в глазик кому не ширнуть.
Из утилитарных соображений - и Шеннон, и Котельников рассматривали сигналы, пригодные для передачи информации. Непрерывный синусоидальный сигнал никакой информации в принципе передавать не может, если бы они знали, что кому-то понадобится "воспроизводить" такой бесполезный сигнал, может и подшаманили бы теорию.

Ошибка стало быть в условии >= . Равно не катит.

Кстати, Гоноровский в своем учебнике убрал "равно". Наверное, достали его студенты вопросами про синус.

[GetSmart]

ТК применяется не к отсчетам, а к функциям, имеющим спектр, т.е. интегрируемым. Непрерывный синусоидальный сигнал к таковым не относится, соответственно и ТК к нему неприменима. Впрочем, если хотите, можете попрактиковаться в рисовании спектра оного синуса, тока будьте осторожны - дельта-функция уходит в бесконечность, как бы в глазик кому не ширнуть.

Глупость. Дельта-функция вырождается в натуральное число. Точнее в комплексное. Спектр синусоидального сигнала (множества синусоид) по бесконечности - множество чисел, содержащих частоту, фазу и амплитуду.

Похоже, тов. GetSmart не очень знаком с дельта-функциями.

А ты вообще не вякай

Я бы сказал, что суть понятна и споры о точной формулировке теоремы Котельникова полезны только с учебной точки зрения.

При использовании Фурье возникает очень много гораздо более интересных (и необходимых на практике) нюансов в области его практического использования. Например точное определение частоты синусоидального сигнала и его фазы на конечной выборке при некратных частотах выборки. Очень интересный вопрос, по которому написано-то много, но не сказано почти ничего конкретного. Мы столкнулись с этой задачкой и даже научились ее решать с высокой точностью (на уровне 10^-4-10^-5), но - практически. Внятного теоретического ответа найти не смогли. Может кто-то подскажет?

Споры полезны именно для практического применения.
С тривиальной задачкой, связанной с ТК вы столкнулись. Это т.н. "нулевой уровень". Теперь столкнитесь с задачкой отделения (выяснения спектра) для двух некратных частот в конечном множестве отсчётов. Обычно некратная частота попадается с вероятностью 1. Потом отпишитесь о результате. И продолжим обсуждать ТК.

[rudy_b]

Глупость. Дельта-функция вырождается в натуральное число. Точнее в комплексное. Спектр синусоидального сигнала (множества синусоид) по бесконечности - множество чисел, содержащих частоту, фазу и амплитуду.


А ты вообще не вякай


Споры полезны именно для практического применения.
С тривиальной задачкой, связанной с ТК вы столкнулись. Это т.н. "нулевой уровень". Теперь столкнитесь с задачкой отделения (выяснения спектра) для двух некратных частот в конечном множестве отсчётов. Обычно некратная частота попадается с вероятностью 1. Потом отпишитесь о результате. И продолжим обсуждать ТК.

Мне показалось, что уважаемый "guru killer" заявил, что он осчастливил это обсуждение своим отсутствием.

Окно не нужно, если измерения проводить на отрезке, кратном периоду sin.
Более серьезное по первой ссылке.

К сожалению, так не бывает, в этом то и проблема.

Про первую ссылку. При применении любой весовой функции они бы получили намного лучшие результаты. Если важно выделить синус, то наиболее подходит гаусс, он обеспечивает разделение до 80 дБ. Спасибо за попытку помочь.

[GetSmart]

Мне показалось, что уважаемый "guru killer" заявил, что он осчастливил это обсуждение своим отсутствием.

Ближе к делу.

ЗЫ. С той поры беседа оживилась. И ещё, меня попросили остаться

ЗЗЫ. И не вешайте всем лапшу на уши про точность 10e-5. В лучшем случае на фоне слабого белого шума. В присутствии любого стороннего сигнала точность будет меньше, причём такая, о какой не писали в книжках.

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 20 2009, 12:59