Ошибка в теореме Котельникова ? Опции

[andran25]

Как известно из теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый
сигнал мог быть оцифрован а затем восстановлен, необходимо и
достаточно, чтобы частота дискретизации была больше или равна
верхней частоте аналогого сигнала.
Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда.
Тогда f = 1 / T = 1 герц, sin( ( 2*pi / T ) * t ) = sin( 2 * pi * t ),
частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды.
Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса
sin( 2 * pi * 0 ) = sin( 2 * pi * 0,5 ) = sin( 2 * pi * 1 ) = 0

Везде получаются нули.
Как же тогда можно восстановить этот синус ?

[Atridies]

Например точное определение частоты синусоидального сигнала и его фазы на конечной выборке при некратных частотах выборки. Очень интересный вопрос, по которому написано-то много, но не сказано почти ничего конкретного

Если Фурье крутить на бесконечном отрезке (-бесконечность...+бесконечность) тогда при конечной длительности синусоиды спектр будет не прямая линия, а функция вида sin(x)/x - это известно. Если надо точно измерить - надо крутить ПФ только на отрезке реализации синусоиды. В этом случае будет одна-единственная прямая. Кроме того, для улучшения точности результатов - надо увеличить частоту дискретизации, чтобы увеличить статистику (чтобы шаг спектральных составляющих был маленьким). Теоретически, можно получить любую точность, практически - лучше 10^-6 наверное сложно будет получить, ввиду погрешностей Fдискр, шума квантования и пр.пр.пр.

Выше неоднократно упоминалось, что у бесконечной синусоиды спектр не существует, и строгая формулировка синусоиду отсеет сразу

Спектр бесконечной синусоиды - это просто число. # 5 Гц. Вот спектр ЧМ - это функция, а спектр синусоиды - это число. Т.е. функция не равна нулю только в оной точке. И равна она в ней - амплитуде синусоиды.

А лично меня еще интересует наивысшая частота спектра сигнала постоянного уровня (никак не могу добиться ответа от актуальных товарищей).

Шутить изволите

На мой взгляд, ТК наверное сформулирована чуть-чуть некорректно. Такое бывает и в математике и в физике (что нисколько не умаляет вклад в науку Котельникова). Основной ее смысл: что нельзя, ни теоретически, ни практически восстановить сигнал, частота которого больше Fдискр/2. А вот если равна - сфазируйте правильно - и будет Вам счастье.
Это также как и неявное следствие из линейных и нелинейных цепей: главное отличие с т.з. сигналов, что одни добавляют новые частоты в спектр, а другие - модифицируют спектр без этого.

[wim]

Спектр бесконечной синусоиды - это просто число. # 5 Гц. Вот спектр ЧМ - это функция, а спектр синусоиды - это число. Т.е. функция не равна нулю только в оной точке. И равна она в ней - амплитуде синусоиды.

Хорошо, можно и так - угловая модуляция синусоидальным сигналом с индексом m<1 - спектр содержит составляющую на несущей частоте и две боковые. Если уменьшать частоту модуляции, "боковушки" будут приближаться к центральной составляющей. В пределе частота модуляции становится бесконечно малой - так вот хоцца понять, как эти три спектральные составляющие превратятся в одно число.
P.S. А у этого числа частота есть или только амплитуда?

Обобщенные функции тут ни при чем. Косинус тоже имеет образом дельта функцию, однако с ним
таких проблем не возникает.

Еще раз - существуют достаточные условия применимости к функции преобразования Фурье. Достаточность означает, что можно заранее определить - применимо к данной функции преобразование Фурье или нет. Если оно неприменимо, то автоматически неприменима и базирующаяся на нем ТК, после чего нет никакой нужды в дополнительных ограничениях в виде необходимых условий к самой ТК.
P.S. По-прежнему интересуюсь верхней граничной частотой дельта-функции.

[andran25]

Хорошо, можно и так - угловая модуляция синусоидальным сигналом с индексом m<1 - спектр содержит составляющую на несущей частоте и две боковые. Если уменьшать частоту модуляции, "боковушки" будут приближаться к центральной составляющей. В пределе частота модуляции становится бесконечно малой - так вот хоцца понять, как эти три спектральные составляющие превратятся в одно число.
P.S. А у этого числа частота есть или только амплитуда?


Еще раз - существуют достаточные условия применимости к функции преобразования Фурье. Достаточность означает, что можно заранее определить - применимо к данной функции преобразование Фурье или нет. Если оно неприменимо, то автоматически неприменима и базирующаяся на нем ТК, после чего нет никакой нужды в дополнительных ограничениях в виде необходимых условий к самой ТК.
P.S. По-прежнему интересуюсь верхней граничной частотой дельта-функции.

Дельта функция от какой переменной ? Времени ?
Тогда для delta(t - t0) C=cos(omega*t0) S=sin(omega*t0) АЧХ=1

Сообщение отредактировал andran25 - Jan 20 2009, 19:07

[wim]

Дельта функция от какой переменной ? Времени ?
Тогда для delta(t - t0) C=cos(omega*t0) S=sin(omega*t0) АЧХ=1

От частоты. Мы проверяем Вашу поправку к ТК не на той функции, на которой она была выведена (синусе), а на другой. Если поправка верна, значит можно найти частоту дискретизации и для сигнала постоянного уровня (чем он хуже других?). Вот я и интересуюсь - как Вы представляете себе w1 для дельта-функции на нулевой частоте?

wim, ширина спектра любой частоты по бесконечности равна нулю. В том числе и постоянки (0-частоты). Спектр любой одиночной частоты - точка на шкале частот. Спектр сигнала из нескольких гармоник - множество точек.

У дельта-функции нет ширины спектра, потому что это понятие к ней неприменимо. И по этой причине существуют функции, для которых неприменима ТК. Не потому, что у нее "баг", просто такое вот ограничение.

[andran25]

От частоты. Мы проверяем Вашу поправку к ТК не на той функции, на которой она была выведена (синусе), а на другой. Если поправка верна, значит можно найти частоту дискретизации и для сигнала постоянного уровня (чем он хуже других?). Вот я и интересуюсь - как Вы представляете себе w1 для дельта-функции на нулевой частоте?

Функция должна быть интегрируемой от минус бесконечности до
плюс бесконечности. Постоянная функция не удовлетворяет этому условию.

[wim]

Функция должна быть интегрируемой от минус бесконечности до
плюс бесконечности. Постоянная функция не удовлетворяет этому условию.

Как и непрерывный синусоидальный сигнал - он тоже не удовлетворяет. Поэтому к нему неприменимо преобразование Фурье, а, следовательно и ТК.

[andran25]

Как и непрерывный синусоидальный сигнал - он тоже не удовлетворяет. Поэтому к нему неприменимо преобразование Фурье, а, следовательно и ТК.

Неправда. Синусоидальный удовлетворяет. Получается дельта функция -
везде ноль кроме точки где частота равна частоте синуса.

[fontp]

Неправда. Синусоидальный удовлетворяет. Получается дельта функция -
везде ноль кроме точки где частота равна частоте синуса.

А в этой точке её значение (спектральной плотности) равно бесконечности. Это ничего? Чистая бесконечная синусоида - это абстракция. В реальности у неё обязательно есть фазовый шум и сингулярность размажется в спектральную линию. Или она должна рассматриваться на конечном интервале времени и снова получится спектральная линия конечной (не бесконечно узкой) ширины.

И вклад одиночной частоты Fd/2 в энергию этого сигнала будет бесконечно малым. Вот математики и говорят, что в смысле метрики L2 одна спектральная точка не играет роли, она ничтожна. Интервал частот решает

В Теореме Котельникова ошибок нет. Это в мозгах ошибки неадекватности моделей

В интерпретации Теоремы есть проблема, связаная с тем что реальные сигналы вроде бы должны быть ограничены во времени, не только по спектру. Ведь бесконечности нет, это всегда абстракция в смысле предельного перехода. В формулировке теоремы есть практическая, "инженерная" бесконечность. Т.е. рассматриваемых в Теореме сигналов строго говоря не существует в природе. Но она работает и для реальных сигналов - ограниченых сначала по частоте, потом по времени. И это строго доказывается. Но это сложно, и инженеров этому не учат

[GetSmart]

Но она работает и для реальных сигналов - ограниченых сначала по частоте, потом по времени. И это строго доказывается. Но это сложно, и инженеров этому не учат

Другими словами, в сугубо инженерной книге Радиотехнические цепи и сигналы даётся неадекватная интерпретация ТК применительно к реалиям. Приведена только идеализированная интерпретация, но о никаких ограничениях, возникающих на практике не говорится, как будто их нет в принципе?! Почему?

А в этой точке её значение (спектральной плотности) равно бесконечности. Это ничего? Чистая бесконечная синусоида - это абстракция. В реальности у неё обязательно есть фазовый шум и сингулярность размажется в спектральную линию. Или она должна рассматриваться на конечном интервале времени и снова получится спектральная линия конечной (не бесконечно узкой) ширины.

Ширина спектральной "линии" идеальной синусоиды обратнопропорциональна временному интервалу. При устремлении интервала в бесконечность ширина падает до "нуля" и превращается в точку. Но. Она существует! Да, и не надо её бояться. На шкале спектральной мощности она зашкаливает и напоминает сингулярность, хотя и имеет некий числовой коэффициент для дополнительных математических операций (типа если пять бесконечностей поделить на одну бесконечность, будет 5 ). На шкале спектральной амплитуды для бесконечной синусоиды будет обычное число. Вообще красотища.

Хотел спросить Вас лично. Проблема неортогональности гармоник в дискретизированном сигнале является проблемой какой теоремы? Котельникова? Фурье? или кого-то ещё?

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 21 2009, 15:50

[fontp]

Другими словами, в сугубо инженерной книге Радиотехнические цепи и сигналы даётся неадекватная интерпретация ТК применительно к реалиям. Приведена только идеализированная интерпретация, но о никаких ограничениях, возникающих на практике не говорится, как будто их нет в принципе?! Почему?

Это уже вопрос философский. В конечном счете оправдание науки вообще не в изложении "истины", а в практической полезности. Инженеров учат тому, что может быть полезно в практической деятельности и стараются не забивать работающие приёмчики деталями

Ширина спектральной "линии" идеальной синусоиды обратнопропорциональна временному интервалу. При устремлении интервала в бесконечность ширина падает до "нуля" и превращается в точку. Но. Она существует! Да, и не надо её бояться. На шкале спектральной мощности она зашкаливает и напоминает сингулярность, хотя и имеет некий числовой коэффициент для дополнительных математических операций (типа если пять бесконечностей поделить на одну бесконечность, будет 5 ). На шкале спектральной амплитуды для бесконечной синусоиды будет обычное число. Вообще красота.

Мантры.
Везде, где появляется бесконечность, реально это означает предельный переход. Нет бесконечности во Вселенной Бесконечность - это свернутое представление о процессе предельного перехода. Иероглиф

Хотел спросить Вас лично. Проблема неортогональности гармоник в дискретизированном сигнале является проблемой какой теории? Котельникова? Фурье? или кого-то ещё?

Проблема неортогональности гармоник ? Это что за зверь?

Отрезок сигнала ограниченый во времени разлагается в ряд Фурье.
Можно было бы в интеграл Фурье, но это практически нереально для дискретного представления (после дискретизации)
В любом случае ДПФ - это дискретный аналог ряда Фурье, а не интеграла Фурье. И в этом ряде дискретный набор частот.
Если Вы имели в виду, что в ДПФ нет непрерывных промежуточных частот, то ответ состоит в том, что Фурье и Котельников не виноваты, просто мы практически используем не идеальный инструментарий. Он не негодный - мы собираем реально в каждый спектральный отсчет вклад от всех частот каждого частотного бина, т.е. с некоторым разрешением оцениваем интеграл Фурье, который следовало бы строго говоря считать физическим спектром