Найти обратное преобразование, y = (x * (x+1) / 2) mod N Опции

[Сергей Борщ]

Столкнулся с интересным алгоритмом. y = (x * (x+1) / 2 ) mod N (N - степень двойки) дает взаимно однозначное преобразование x[0...N-1] в y[0...N-1]. Собственно задача: имея y найти х. Табличный метод не предлагать - у меня x имеет 24 бита.
На всякий случай привожу таблицу для N = 2^8:

Код

y(x):
00 01 03 06 0A 0F 15 1C 24 2D 37 42 4E 5B 69 78
88 99 AB BE D2 E7 FD 14 2C 45 5F 7A 96 B3 D1 F0
10 31 53 76 9A BF E5 0C 34 5D 87 B2 DE 0B 39 68
98 C9 FB 2E 62 97 CD 04 3C 75 AF EA 26 63 A1 E0
20 61 A3 E6 2A 6F B5 FC 44 8D D7 22 6E BB 09 58
A8 F9 4B 9E F2 47 9D F4 4C A5 FF 5A B6 13 71 D0
30 91 F3 56 BA 1F 85 EC 54 BD 27 92 FE 6B D9 48
B8 29 9B 0E 82 F7 6D E4 5C D5 4F CA 46 C3 41 C0
40 C1 43 C6 4A CF 55 DC 64 ED 77 02 8E 1B A9 38
C8 59 EB 7E 12 A7 3D D4 6C 05 9F 3A D6 73 11 B0
50 F1 93 36 DA 7F 25 CC 74 1D C7 72 1E CB 79 28
D8 89 3B EE A2 57 0D C4 7C 35 EF AA 66 23 E1 A0
60 21 E3 A6 6A 2F F5 BC 84 4D 17 E2 AE 7B 49 18
E8 B9 8B 5E 32 07 DD B4 8C 65 3F 1A F6 D3 B1 90
70 51 33 16 FA DF C5 AC 94 7D 67 52 3E 2B 19 08
F8 E9 DB CE C2 B7 AD A4 9C 95 8F 8A 86 83 81 80

x(y):
00 01 8B 02 37 99 03 D5 EF 4E 04 2D 27 B6 73 05
20 9E 94 5D 17 06 E3 CA CF EE DB 8D 07 A9 AC 65
40 C1 4B BD 08 A6 3C 6A AF 71 44 ED 18 09 33 C5
60 21 D4 E2 28 B9 A3 0A 8F 2E 9B B2 38 96 EC DA
80 7E 0B 82 48 19 7C 55 6F CE 84 52 58 C9 0C 7A
A0 E1 EB 22 68 86 63 B5 4F 91 5B 0D 78 29 D3 1A
C0 41 34 3D 88 D9 BC EA 2F 0E C4 6D 98 76 4C 45
E0 5E AB 9D A8 39 23 8A 0F AE 1B CD B8 E9 93 A5
FF FE 74 FD C8 66 FC 2A 10 B1 FB D2 D8 49 8C FA
DF 61 6B A2 E8 F9 1C 35 30 11 24 72 F8 56 53 9A
BF 3E B4 42 F7 59 C3 95 50 8E BB 12 E7 F6 CC 3A
9F DE 2B 1D D7 46 5C F5 70 D1 64 4D C7 69 13 25
7F 81 F4 7D B7 E6 83 AA 90 31 7B AD A7 36 F3 85
5F 1E 14 DD 97 79 9C 4A B0 6E A4 F2 87 D6 2C E5
3F BE CB C2 77 26 43 15 D0 F1 3B 92 67 89 B3 BA
1F A1 54 62 57 C6 DC 75 F0 51 E4 32 47 16 6C 5A

Возможно, это какое-то общеизвестное преобразование, но моих знаний не хватает.

P.S. добавил таблицу x(y)

Сообщение отредактировал Сергей Борщ - Mar 31 2009, 19:03

[MrYuran]

Щас сумничаю..
Чето мне подсказывает про поля Галуа
Ссылу дал от балды, лучше в учебниках поискать

[Сергей Борщ]

Чето мне подсказывает про поля Галуа

Угу. Насколько я ничего не понимаю, это поле Галуа с определяющим полиномом X^2+X+1. X - к-кортеж (N=2^k). Фактически это задача нахождения индекса элемента в поле. 

1. Ищем такое минимальное n, при котором корень будет целым числом.

Алгоритм в целом правильный. Но для x=2^24-1 придется искать корень 2^24-1 число раз. Перебором будет проще и быстрее.

ReAl на сахаре попытался решить уравнение x = [-1 + sqrt(1 + 8*(n*2^k + y)) ] / 2 аналитически. Очевидно, что подкоренное выражение должно быть квадратом. Поскольку присутствует деление на 2 и -1, то квадратом нечетного числа, или числом вида (2m + 1)^2. Подстановка под корень этого выражения дает тождество x=m. Попытка решения уравнения 1+8(n*2^k + y) = (2m+1)^2 приводит к исходному уравнению:

1+8(n*2^k + y) = 4m^2+4m+1
8(n*2^k + y) = 4m^2+4m
2(n*2^k + y) = m^2+m
2(n*2^k + y) = m(m+1)
n*2^k + y = m(m+1)/2
Круг замкнулся.

Вчера мне пришел в голову более простой алгоритм: элементы этого поля представляют собой суммы членов арифметической прогрессии. Т.е. x[n] = (x[n-1]+x) mod 2^k. То есть вычитая из y по модулю 2^k числа x = 1,2,3... до получения 0 мы находим х за максимум 2^k - 1 вычитаний. Ну или восстанавливая последовательность x суммированием последовательности 1,2,3... по модулю 2^k до совпадения результата с y, что то же яйцо, только в профиль.

Но должен же быть какой-то алгоритм побитового восстановления, вроде деления полиномов!

[mikeT]

Я бросил вашу задачку на форум мехмата НГУ (Новосибирск), а именно в раздел " Алгебра, логика, теория чисел и теория алгоритмов"

http://www.nsu.ru/phpBB/viewtopic.php?t=19...a7a4057847d2d69
там одно решение предложили, но я не проверял - гляньте

+ еще дал задачку ряду друзей с мех-матовским образованием, но у них специализация не та несколько. в общем пока решения быстрого нет

для себя я прикинул две "проекции" - как мне видится сама эта задача (чисто для понимания)
1) компьютерно-низкоуровневый: при выполнении операций x*(x+1)/2 на 24-битном модуле происходит wrap-around и результат записывается "как есть" - это тот самый y.
2) графический - строим график функции x(x+1)/2, где x - целые в заданном диапазоне. до 2^24 все "как обычно", а дальше мы из ответа начинаем вычитать 2^24 стоолько раз сколько надо чтобы остаток не превышал 2^24. Получится "страшная" пила какая-то. При первом взгляде в Матлабе я подумал, что какая нах тут однозначность, но оказалось что так и есть.

повторяю - эти "проекции" я привел только для того чтобы показать как можно образно представить саму задачу. может это на какую-то мысль натолкнет

по идее там решается квадратное уравнение, но нужно подобрать параметр под корнем (в дискриминанте), так 1) чтобы корень извлекался 2) чтобы это число было нечетное (т.к. общее решение должно быть целое, а там стоит 1/2)

[Сергей Борщ]

Я бросил вашу задачку на форум мехмата НГУ (Новосибирск), а именно в раздел " Алгебра, логика, теория чисел и теория алгоритмов"

http://www.nsu.ru/phpBB/viewtopic.php?t=19...a7a4057847d2d69
там одно решение предложили, но я не проверял - гляньте

Приведенный там алгоритм работает! Спасибо! в нем получается в худшем случае всего k - 1 умножений (N=2^k).

[singlskv]

Приведенный там алгоритм работает! Спасибо! в нем получается всего k умножений (N=2^k).

На самом деле Вам Oldring в первом же ответе дал правильный алгоритм

x = a * 2^(k+1) + b * 2^k + c, где a = неизвестное целое, b - неизвестный бит, c - известное целое меньшее 2^k

x(x+1) = d*2^(k+1) + b*2^k + c(c+1)

Отсюда b есть k-й бит 2y - с(с+1)

Чего-то я никак не могу понять связи между этими уравнениями. Я правильно понимаю, что с - это k-1 младших бит x?

с это k-1 уже найденых бит

x(x+1) = (a * 2^(k+1) + b * 2^k + c)(a * 2^(k+1) + b * 2^k + c +1)=.....=
= d*2^(k+1) + b*2^k + c(c+1)
где d это сумма коэф. для степеней 2^(k+1) и она нас не интересует тк мы ищем k бит

[singlskv]

На самом деле Вам Oldring в первом же ответе дал правильный алгоритм

Не, наврал...
неправильный алгоритм у Oldring...
но очень похож на правду, там где-то апшыбка

кстати младший бит x определяется однозначно из значения 'y' за пару операций.

[Сергей Борщ]

кстати младший бит x определяется однозначно из значения 'y' за пару операций.

угу. За одну. x0 = y & 1;

[singlskv]

угу. За одну. x0 = y & 1;

не, за одну никак

Код

x1:0  y1:0
00     00
01     01
10     11
11     10
00     10
01     11
10     01
11     00

[xemul]

не, за одну никак

А как за две?
Минимальный период по парам (y._;x.0) получается 16, т.е. воспроизвести x.0 можно по комбинации 4 битов. Карта Карно x.0=K(y.0,.., y.3) получается однозначная, но совсем невкусная.