Цифровой генератор синусоиды, Нужен алгоритм Опции

[aal]

Требуется сформировать 2 синуса (естественно в цифре). Можно пойти табличным методом - но для 8 бит и 1к хватит, а для 18 бит и метра может мало оказатся. Есть другой метод http://www.gaw.ru/html.cgi/txt/doc/...v/max2000_5.htm .
Но интересные эфекты: даже при инт64 вылазеют гармоники на уровне -70 дб + к этому и частота не точно заданная.
Попробывал так:
X(n)=k*X(n-1)-X(n-2), где k=2*cos(2*Pi*F/Fd);
для 0 градусов X(-1)=0, X(-2)=-A*sin(2*Pi*F/Fd);
для 90 градусов X(-1)=A, X(-2)=A*sin(pi/2+2*Pi*F/Fd)
90 гр. частота на сотые доли процентов выше и уползает вперёд по отношению к 0 гр.
Сейчас хочу через приблежённое вычеслени по Тейлору попробывать. Но явно по вычислениям более накладно будет.
Может ещё есть способ с минимум вычислений сгенерить синус?
(Всё должно в итоге оказатся в FPGA Спартан3).

[Stanislav]

Требуется сформировать 2 синуса (естественно в цифре)

..................................
Может ещё есть способ с минимум вычислений сгенерить синус?
(Всё должно в итоге оказатся в FPGA Спартан3).

Стандартный способ вычисления значения функции заключается в полиномиальном приближении ее на отрезке и отображении любого значения функции на этот отрезок. Например, для косинуса и синуса:
1 Разбиваем один период косинуса на четыре части, учитывая, что cos(-x)=cos(x); cos(2*pi*n+x)=cos(x); cos(pi+x)= -cos(x); sin(x)= -cos(pi/2+x). Пользуясь этими соотношениями, значение аргумента приводится к отрезку [0; pi/2].
2.Участок функции с аргументом [0; pi/2] аппроксимируем полиномом: sin(x) ~ A0+A1*x+A2*x^2+...An*x^n, где А0...Аn - коэффициенты полинома. Для наилучшего приближения (в смысле наименьших средних квадратов), если склероз не изменяет, это к-ты полинома Лежандра, и ни в коем случае не Тейлора! Для Ваших требований хватит n=5-6. О вычислении к-тов нужно посмотреть в справочнике по математике. Значение функции вычисляется рекуррентно, на Спартане должно реализоваваться в пол-пинка...
Можно попробовать аппроксимировать косинус и на отрезке [-pi/2; pi/2], если это будет удобнее для реализации на ПЛИС. Тогда останутся только четные степени раздожения, но вычислений будет несколько больше.

Вообще-то такую штуку можно реализовать и на недорогом DSP...

[SSerge]

Можно попробовать аппроксимировать косинус и на отрезке -pi/2; pi/2, если это будет удобнее для реализации на ПЛИС. Тогда останутся только четные степени раздожения, но вычислений будет несколько больше.

Я в своих изысканиях пришёл к выводу что лучше всего получается если сводить всё к отрезку [-pi/4;+pi/4] и считать либо синус либо косинус как разложение в ряд в окрестности нуля. На таком интервале они быстрее сходятся.
В данной конкретной задаче придётся считать в любом случае обе функции, и синус и косинус.

Ещё одно интересное разбиение - на четыре (на самом деле получается три) разных полинома:
sin(x) и cos(x) при x=[-pi/8;+pi/8] - как обычно - в окрестности нуля, а на интервале
x=[+pi/8;+3pi/8] считать разложением в окрестности pi/4, коэффициенты для sin и cos получаются одинаковыми с точностью до знака.

Сообщение отредактировал SSerge - Jan 24 2006, 22:49

[Stanislav]

Я в своих изысканиях пришёл к выводу что лучше всего получается если сводить всё к отрезку [-pi/4;+pi/4] и считать либо синус либо косинус как разложение в ряд в окрестности нуля. На таком интервале они быстрее сходятся.
В данной конкретной задаче придётся считать в любом случае обе функции, и синус и косинус.
Ещё одно интересное разбиение - на четыре (на самом деле получается три) разных полинома:
sin(x) и cos(x) при x=[-pi/8;+pi/8] - как обычно - в окрестности нуля, а на интервале
x=[+pi/8;+3pi/8] считать разложением в окрестности pi/4, коэффициенты для sin и cos получаются одинаковыми с точностью до знака.

Все-таки, попробуйте использовать для разложения многочлены Лежандра - будете немало удивлены. Дело в том, что Тэйлор наилучшим образом приближает ф-цию только в бесконечно малой (дельта-) окрестности конкретной _точки_, а пол-м Лежандра - на _отрезке_.

[SSerge]

Все-таки, попробуйте использовать для разложения многочлены Лежандра - будете немало удивлены. Дело в том, что Тэйлор наилучшим образом приближает ф-цию только в бесконечно малой (дельта-) окрестности конкретной _точки_, а пол-м Лежандра - на _отрезке_.

Даже и спорить не буду.
При высоких требованиях к точности результата сравнительно редкая таблица и вычисление промежуточных значений интерполяцией - очевидно будут эффективнее чем прямое вычисление, особенно для таких "прилично себя ведущих" функций как синус и косинус.

Вопрос таким образом сводится к выбору наилучшего сочетания: объём таблицы - степень интерполяционного полинома.

Сейчас посмотрел в исходники IAR-овского sin() - там над вопросами эффективности не особо задумывались, считают Тейлором суммируя до 9-й степени для float и аж до 17-й для double.
То ли дело фортрановские библиотеки для PDP - когда-то они были для меня источником алгоритмов (интернет тогда уже был, только до нас ещё не добрался, а гугл ещё не выдумали - за каждой фигнёй приходилось тащится в библиотеку, за N километров!, по морозу! не то что нынешняя молодёжь! )

[Stanislav]

Даже и спорить не буду.
При высоких требованиях к точности результата сравнительно редкая таблица и вычисление промежуточных значений интерполяцией - очевидно будут эффективнее чем прямое вычисление, особенно для таких "прилично себя ведущих" функций как синус и косинус.......

Вопрос таким образом сводится к выбору наилучшего сочетания: объём таблицы - степень интерполяционного полинома.

Сейчас посмотрел в исходники IAR-овского sin() - там над вопросами эффективности не особо задумывались, считают Тейлором суммируя до 9-й степени для float и аж до 17-й для double...

Нет-нет, табличным способом задаются только коэффициенты при степенях аппроксимирующего полинома, которые находятся аналитически, а узловые значения функции задавать вовсе не нужно. Точно так же, как в тейлоре, но, в отличие от него, эти к-ты будут зависеть от степени полинома. Наверное, и в ИАРе используется не тейлоровское разложение, здесь может сбить с толку абсолютно идентичный способ вычисления значения полинома. Кстати, представление лежандром оптимально только в смысле наименьших средних квадратов на отрезке, поэтому я и предложил его для генератора - будет давать минимум гармоник. Можно задаться другим критерием, напр., минимизацией масимальной ошибки на отрезке, тогда к-ты поинома будут слегка другими. Если мне опять склероз не изменяет, приближение по Лежандру дает для синуса на отрезке [0;pi/2] по 3 верных двоичных разряда за итерацию, что хорошо сочетается с цифрами, приведенными Вами. Тейлор же такой точности (24р за 9 итераций) не даст. Если выложите исходный текст ИАРовского синуса, постараюсь выяснить это - самомУ стало интересно.