Про дискретное преобразование Фурье, и АЧХ цифровых фильтров Опции

[AlexHoppus]

про Фурье

Не могу провести аналогию между дискретным и непрерывным преобразованием Фурье. В случае непрерывного преобразования, мы получаем зависимость амплитуды и фазы гармонических функций, через которые мы представляем нашу временную функцию, от частоты.
В случае если мы имеем дискретный сигнал, то преобразование Фурье от последовательности X(nT) n=0,N-1 будет тоже последовательность имеющая столько же элементов, только комплексных X*(kw) n=0,N-1 где w=2*pi/(N-1)*T частота первой гармоники.
Так вот, если в случае с непрерывной функцией физический смысл модуля Фурье преобразования - это амплитуды гармонических функций, на которые мы раскладываем наш аналоговый сигнал, то что за смысл за компонентами последовательности X*(kw) в дискретном случае - не понятно.

про фильтры
Вопрос собственно аналогичный

Переходная характеристика показывает как фильтр изменяет амплитуду и фазу частотных составляющих входного сигнала.

Если сигнал непрерывный - частотные составляющие сигнала гармонические функции на которые мы раскладываем сигнал. Если входной сигнал дискретный - как понять что такое частотные составляющие дискретного сигнала?

Сообщение отредактировал AlexHoppus - Oct 28 2010, 22:14

[ViKo]

Непрерывный сигнал имеет спектр, показывающий, сколько синусоидальных составляющих разных частот и амплитуд в нем содержится. Если сигнал периодический, например, "пила", его спектр состоит из определенного набора гармоник fo, 2fo, 3fo... Частота fo соответствует периоду повторения сигнала. Понятно, что это - синус. Остальные гармоники и делают из этого синуса "пилу", например.

Для преобразования в цифровую форму сигнал дискретизируется (по времени) и квантуется (по амплитуде). Частота дискретизации должна быть такой, чтобы не потерять информацию о всех интересующих нас составляющий спектра сигнала, до какой-то степени точности. Допустим для "пилы" возьмем 8 гармоник, значит, нам нужно оцифровать сигнал с частотой fs > 16fo. [Теорема Котельникова, она же критерий Найквиста]. Количество разрядов квантования определяет, насколько точно дискретный сигнал соответствует непрерывному. Определяет "шум округления (квантования)".

Непрерывный сигнал может быть узкополосным, иметь спектральные составляющие в узком диапазоне частот. В таком случае частота дискретизации fs не обязана быть вдвое выше максимальной спектральной составляющей сигнала. Она должна быть вдвое выше полосы сигнала. (Она даже может быть ниже центральной частоты сигнала, fc).

Так получается дискретный сигнал, состоящий из последовательности отсчетов. Спектр дискретного сигнала повторяет спектр непрерывного сигнала, из которого он получен. Только спектр этот повторяется с интервалом, равным частоте дискретизации: около 0, около fs, около 2fs, 3fs... [Из этого свойства, собственно, и вытекает требование теоремы Котельникова]. (АЧХ цифрового фильтра имеет такое же свойство периодичности.)

С помощью ДПФ вычисляются составляющие этого спектра. Так так сигнал дискретный, в формуле преобразования Фурье вместо интегрирования используется суммирование. Чем больше отсчетов сигнала мы будем использовать в расчетах, тем больше спектральных составляющих сигнала мы вычислим. (Все они расположены в пределах одного из участков упомянутого выше повторяющегося спектра, в других участках - такие же спектральные составляющие).

Быстрое преобразование Фурье - то же самое, что и ДПФ, только в нем для параллельного вычисления спектральных составляющий используются математические "хитрости".

Если повезет, и частота дискретизации fs будет кратна частоте сигнала fo, спектральные составляющие будут вычислены точно (с точностью, определяемой шумами квантования). Но, так как обычно, эти частоты не связаны, возникают ошибки при ДПФ - утечка спектра (из одной составляющей вычисленного спектра в другие). Для борьбы с утечкой спектра используются "окна".