Расширенный БЧХ-код (extended BCH code) Опции

[roman73]

Хочу разобраться с расширенным кодом БЧХ(1020, 998).

Генератор кода g(x)= m1(x)*m3(x)*m5(x)*(x^2+1), где
m1(x) = x^10+x^3 + 1
m3(x) = x^10+x^3+x^2+x+1
m5(x) = x^10+x^8+x^3+x^2+1

Перелопатил тонны литературы.
В основном пишут про расширение линейного кода в терминах проверочной матрицы.
или что к g(x) добавляется множитель (x+1),
который есть ни что иное, как бит четности.

Как декодировать такой код нигде не написано.
(есть про расширенный Рид-Соломон - но это другое - там добавляется целый проверочный СИМВОЛ).
У Блейхута описание идет в частотной области. ничего не понятно.

В книге
"L.Hanzo, T.H.Liew, B.L.Yeap - Turbo Coding, Turbo Equalisation and Space-Time Coding for Transmission over Wireless Channels"
Декодирование расширенных коды довольно поднобно описано. Но там мягкое декодирование.
Какие-то манипуляции с аналоговым сигналом.
Жестокая жесть.
Мне в общем нужет жесткий декодер. Ну может быть с поддержкой стираний
(так как будет использоваться в составе каскадного кода).

Замечу, что (x^2+1) = (x+1)(x+1).
В чем смысл добавления двух одинаковых множителей?
Что делать с двумя дополнительными проверочными битами?

Занимаюсь ECC-кодами около года. Сделал классический декодер кодов Рида-Соломона и БЧХ.
Декодер нерасширенного БЧХ сделан как прототип к текущему проекту. g(x) = m1(x)*m3(x)*m5(x).
Это код БЧХ "в узком смысле" (narrow sense): lcm(min_poly(alpha(1)), ... , min_poly(alpha(6))).
Работает и выдает неплохую производительность.

Кодирование, как я понял, делается обычным порядком - в проверочные позиции записывается остаток от деления на g(x).
Вот как работать с расширенным кодом - непонятно.
Прошу помощи клуба.

[roman73]

Тут все зыбко. Строго говоря, когда вы добавляете нулевой корень, то у вас просто увеличивается на единицу число проверочных символов кода, а число информационных уменьшается на столько же. А у вас длина меняется? - или я не понял вашей задачи?

Да, от прочитанного у меня какая-то каша в голове.

Добавление множителя (x+1)(x+1) дает не биты четности, а новые синдромы (причем, со значениями из GF(2)).

Добавление множителя к генератору, как я понял, называется "выбрасывание" ("expurgation").
То есть, часть прежних кодовых слов перестают считаться таковыми.
Возможно, это то, что мне нужно (хотя в спеках четко написано "extended code")...
Как мне объяснили, вся эта чехарда с расширениями-укорочениями задумана для обратной совместимости формата кадра с кодом RS(255,239). Думаю, что дописывать проверочные биты, чтобы их сразу выкинуть смысла нет.

Вызывают трудности два момента:
1) Что делать с дополнительным коэффициентом/коэффициентами синдрома, локатора и т.д.
2) Степени корней (с учетом дополнительного множителя) не всегда идут попорядку.
(x+1) - это минимальный многочлен alpha(0) (тут вроде всё нормально, но корень двойной).
Есть еще один код, с генератором
gh(x) = x^30*m1(x^-1)*m3(x^-1)*m5(x^-1)*(x^2+x+1).
Его корни: lcm(min_poly(alpha(1017)), ... , min_poly(alpha(1022))) = lcm(min_poly(alpha(-1)), ... , min_poly(alpha(-6))).
Но дополнительный множитель (x^2+x+1) - это минимальный многочлен alpha(341) и alpha(682).
В определении же кодов БЧХ четко сказано, что степени должны идти попорядку...