Что есть разложение сигнала на гармоники? Опции

[Cynic]

Всем привет. Читал я тут на досуге книгу по компьютерным сетям и к главе о физическом уровне осознал, что я ни фига не понимаю, что такое сигнал в линии. Поясню суть проблемы. Если мы передаем по линии сигнал определённой формы, то его по формулам Фурье можно разложить в ряд гармоник. Вот мне не понятно, чтобы это операция значила? Что это за гармоники? Представление в виде набора гармоник значит, что сигнал в линии набор сигналов разной частоты из которых получается результирующий сигнал, или существует всё таки один сигнал определённой частоты. А если сигнал один, то зачем тогда нужно разложение на гармоники. Короче каша у меня в голове, надо с этим разобраться.

[Xenia]

Реальный сигнал можно представить не только в виде суммы гармоник, но и в сумме чего угодно . Лишь бы в сумме все слагаемые давали то, что было в начале. А для всех линейных преобразований совершенно не важно, на какие части мы поделили сигнал, т.к. после линейного преобразования они дадут в сумме то же самое, что дал бы исходный сигнал, будучи преобразован целиком. Это следует из свойства линейного преобразования:
Func( sum(Fi) ) = sum( Func(Fi) )

А попросту, исходный сигнал можно "разрезать" на любые части, чтобы преобразовывать его по частям. Поэтому мы вправе разделить сигнал на такие части, которые нам легче преобразовывать. Ведь исходный сигнал может быть сколь угодно сложной формы, а поделив его на сумму синусоид, можно свести к суммированию простых задач, т.к. для преобразования синусоид результат тривиален.

В математике такое разделение называется разложением по базису. Такое разложение дает возможность выбирать любой ортогональный базис, какой нам больше нравится, поскольку большинство преобразований не зависят от того, в каких координатах (т.к. в каком базисе) их рассматривают.

Многие люди даже не задумываются о том, что преобразование Фурье тоже является ортогональным преобразованием. А раз так, то мы в полном праве рассматривать сигнал в частотной области, как полный эквивалент исходного сигнала. Кажется невероятным, но переход на "фурьёвый" базис даже не деформирует пространство! Хотя кое-какие измерения отражает зеркально.

А заключение будет такое. Конечно же натуральный сигнал не состоит из суммы гармоник, тем не менее мы вправе его на эти гармоники разложить, если в таком виде нам удобнее с ним работать! Ибо это разложение является по своей сути лишь заменой базиса, в котором представлен сигнал. А базис мы имеем право выбирать любой.

[Cynic]

Реальный сигнал можно представить не только в виде суммы гармоник, но и в сумме чего угодно . Лишь бы в сумме все слагаемые давали то, что было в начале. А для всех линейных преобразований совершенно не важно, на какие части мы поделили сигнал, т.к. после линейного преобразования они дадут в сумме то же самое, что дал бы исходный сигнал, будучи преобразован целиком. Это следует из свойства линейного преобразования:
Func( sum(Fi) ) = sum( Func(Fi) )

А попросту, исходный сигнал можно "разрезать" на любые части, чтобы преобразовывать его по частям. Поэтому мы вправе разделить сигнал на такие части, которые нам легче преобразовывать. Ведь исходный сигнал может быть сколь угодно сложной формы, а поделив его на сумму синусоид, можно свести к суммированию простых задач, т.к. для преобразования синусоид результат тривиален.

В математике такое разделение называется разложением по базису. Такое разложение дает возможность выбирать любой ортогональный базис, какой нам больше нравится, поскольку большинство преобразований не зависят от того, в каких координатах (т.к. в каком базисе) их рассматривают.

Многие люди даже не задумываются о том, что преобразование Фурье тоже является ортогональным преобразованием. А раз так, то мы в полном праве рассматривать сигнал в частотной области, как полный эквивалент исходного сигнала. Кажется невероятным, но переход на "фурьёвый" базис даже не деформирует пространство! Хотя кое-какие измерения отражает зеркально.

А заключение будет такое. Конечно же натуральный сигнал не состоит из суммы гармоник, тем не менее мы вправе его на эти гармоники разложить, если в таком виде нам удобнее с ним работать! Ибо это разложение является по своей сути лишь заменой базиса, в котором представлен сигнал. А базис мы имеем право выбирать любой.

Ваши показания расходятся с показаниями других участников форму которые утверждают, что гармоники физически присутствуют в сигнале! И даже предлагают эксперимент, что типа берёшь с помощью нескольких генераторов загоняешь в линию рассчитанные гармонические сигналы и вуаля в линии получается исходный сигнал. Как с этим быть?

Ваши показания расходятся с показаниями других участников форму которые утверждают, что гармоники физически присутствуют в сигнале! И даже предлагают эксперимент, что типа берёшь с помощью нескольких генераторов загоняешь в линию рассчитанные гармонические сигналы и вуаля в линии получается исходный сигнал. Как с этим быть?

И поскольку я уже запутался давайте по порядку:
1) Если в линии существует определённый сигнал, который можно разложить на гармоники, то существуют ли эти гармоники в линии физически или это просто математическая абстракция? И если существуют, то в каком виде? То есть если существует например сигнал с частотой 200Гц мы взяли высчитали основные гармоники на частотах например 50, 100, 150, 250, 300, 350 Гц (к цифрам не цепляться, это пример), то существуют ли физически в линии предсказанные сигналы на этих частотах?
2) Разложение на гармоники можно применить к любым сигналам. Ну предположим взяли мы радиосигнал разложили на гармоники, как в этом случае гармоники будут физически представлены в радиосигнале?
3) Для полноты картины, можно провести следующий мысленный эксперимент. Предположим у нас есть труба небольшой длинны, которая с двух сторон закрыта пластичной мембраной, а внутри залита вода под некоторым давлением, пустот с воздухом в трубе нет. Мы бьем по мембране с одной стороны, колебание распространяется вдоль трубы и воздействует на мембрану с другой стороны. Если этот процесс автоматизировать, то можно наладить передачу информационных сигналов, причем опять же сигналы эти можно представить в виде графика из которого можно выделить гармоники. Как в такой системе эти гармоники будут представлены?

[Xenia]

Ваши показания расходятся с показаниями других участников форму которые утверждают, что гармоники физически присутствуют в сигнале! И даже предлагают эксперимент, что типа берёшь с помощью нескольких генераторов загоняешь в линию рассчитанные гармонические сигналы и вуаля в линии получается исходный сигнал. Как с этим быть?

Постараюсь объяснить на пальцах. Берем батон колбасы и режем его на ломтики. А теперь зададимся вопросом, содержал ли изначально батон колбасы все эти ломтики, или до нарезки эти ломтики являются чистой абстракцией? Вы можете упереться рогом и заявить, что до нарезки батон колбасы ломтиков не содержит, а ломтики появляются лишь после нарезки колбасы. Но тогда на тех же основаниях я вас спрошу, а есть ли у человека сердце, печень, почки и другие органы до того, как те вырежут из тела хирурги? И вот тут-то вам придется признать, что допустимо считать части принадлежностью целого, даже в том случае, когда физически целое на части не поделено. Более того, деление на части может быть совершенно произвольным! Например, разделка туши животного. В зависимости от способа раздела получаем части: оковалок, филей, кострец, голяшка, рулька, грудинка и др. Так содержит ли в себе коровья туша грудинку или нет? Вот и с вашим сигналом дело обстоит ровно так же: он есть целое, которое можно не только представить себе в виде частей, но если понадобится, то и физически разделить на эти части. Справедливо и обратное - из таких частей можно вновь собрать целое, т.к. электрические токи "сживаются" без каких-либо швов.

1) Если в линии существует определённый сигнал, который можно разложить на гармоники, то существуют ли эти гармоники в линии физически или это просто математическая абстракция? И если существуют, то в каком виде? То есть если существует например сигнал с частотой 200Гц мы взяли высчитали основные гармоники на частотах например 50, 100, 150, 250, 300, 350 Гц (к цифрам не цепляться, это пример), то существуют ли физически в линии предсказанные сигналы на этих частотах?

Гармоники существуют в сигнале ровно в том смысле, в каком смысле существует оковалок в корове или сердце в человеке - и то и другое может быть вырезано. Но и, находясь в составе целого, они продолжают выполнять свои роли. Например, если вы пропустите исходный сигнал через какой-то фильтр, пропускающий только одну частоту, то выделите из сигнала соответствующую гармонику в чистом виде. Здесь фильтр играет роль раздельщика туши сигнала. А нарезка батона сигнала на гармоники очень удобна, чтобы делать из них бутерброды . А именно, индивидуальные гармоники ценны тем, что проходя через цепи разного рода могут менять только свою фазу и амплитуду, но не изменяют свой гармонической формы. Есть у гармоник и другие ценные свойства - все их производные тоже есть гармоники. Т.е. такая нарезка нравится как практикам, так и теоретикам. Потому сигнал именно так чаще всего и разделывают.

Однако важно понять, что и до разделки все эти части продолжают существовать в целом, несмотря на то, что их границы между собой виртуальны до тех пор, пока раздел не состоялся. Например, Россия поделена на часовые пояса. Причем в каждом из поясов живут люди. Можно издать новый декрет и изменить принадлежность тех или иных регионов к часовым поясам, но территория и люди от этого никуда не деваются. И хотя деление территории на часовые пояса можно тоже назвать виртуальным, тем не менее этим виртуальным частям соответствует очень многое материальное, реально существующее. Точно так же и отдельная гармоника в составе сигнала несет свою мощность, несмотря на то, что деление сигнала на гармоники не более произвольное, чем деление земной поверхности на часовые пояса.

2) Разложение на гармоники можно применить к любым сигналам. Ну предположим взяли мы радиосигнал разложили на гармоники, как в этом случае гармоники будут физически представлены в радиосигнале?

Сигнал можно поделить на гармоники, а можно и собрать его из гармоник назад (сложить). Это всё та же разделка туши нашего барана .

3) Для полноты картины, можно провести следующий мысленный эксперимент. Предположим у нас есть труба небольшой длинны, которая с двух сторон закрыта пластичной мембраной, а внутри залита вода под некоторым давлением, пустот с воздухом в трубе нет. Мы бьем по мембране с одной стороны, колебание распространяется вдоль трубы и воздействует на мембрану с другой стороны. Если этот процесс автоматизировать, то можно наладить передачу информационных сигналов, причем опять же сигналы эти можно представить в виде графика из которого можно выделить гармоники. Как в такой системе эти гармоники будут представлены?

Для физического процесса нет разницы, представлять ли сигнал целиком или как сумму гармоник. Образно говоря, шашлыка из барана получится ровно столько же, каким бы способом мы не разделали тушу барана.

[Cynic]

Постараюсь объяснить на пальцах. Берем батон колбасы и режем его на ломтики. А теперь зададимся вопросом, содержал ли изначально батон колбасы все эти ломтики, или до нарезки эти ломтики являются чистой абстракцией? Вы можете упереться рогом и заявить, что до нарезки батон колбасы ломтиков не содержит, а ломтики появляются лишь после нарезки колбасы. Но тогда на тех же основаниях я вас спрошу, а есть ли у человека сердце, печень, почки и другие органы до того, как те вырежут из тела хирурги? И вот тут-то вам придется признать, что допустимо считать части принадлежностью целого, даже в том случае, когда физически целое на части не поделено. Более того, деление на части может быть совершенно произвольным! Например, разделка туши животного. В зависимости от способа раздела получаем части: оковалок, филей, кострец, голяшка, рулька, грудинка и др. Так содержит ли в себе коровья туша грудинку или нет? Вот и с вашим сигналом дело обстоит ровно так же: он есть целое, которое можно не только представить себе в виде частей, но если понадобится, то и физически разделить на эти части. Справедливо и обратное - из таких частей можно вновь собрать целое, т.к. электрические токи "сживаются" без каких-либо швов.


Гармоники существуют в сигнале ровно в том смысле, в каком смысле существует оковалок в корове или сердце в человеке - и то и другое может быть вырезано. Но и, находясь в составе целого, они продолжают выполнять свои роли. Например, если вы пропустите исходный сигнал через какой-то фильтр, пропускающий только одну частоту, то выделите из сигнала соответствующую гармонику в чистом виде. Здесь фильтр играет роль раздельщика туши сигнала. А нарезка батона сигнала на гармоники очень удобна, чтобы делать из них бутерброды . А именно, индивидуальные гармоники ценны тем, что проходя через цепи разного рода могут менять только свою фазу и амплитуду, но не изменяют свой гармонической формы. Есть у гармоник и другие ценные свойства - все их производные тоже есть гармоники. Т.е. такая нарезка нравится как практикам, так и теоретикам. Потому сигнал именно так чаще всего и разделывают.

Однако важно понять, что и до разделки все эти части продолжают существовать в целом, несмотря на то, что их границы между собой виртуальны до тех пор, пока раздел не состоялся. Например, Россия поделена на часовые пояса. Причем в каждом из поясов живут люди. Можно издать новый декрет и изменить принадлежность тех или иных регионов к часовым поясам, но территория и люди от этого никуда не деваются. И хотя деление территории на часовые пояса можно тоже назвать виртуальным, тем не менее этим виртуальным частям соответствует очень многое материальное, реально существующее. Точно так же и отдельная гармоника в составе сигнала несет свою мощность, несмотря на то, что деление сигнала на гармоники не более произвольное, чем деление земной поверхности на часовые пояса.


Сигнал можно поделить на гармоники, а можно и собрать его из гармоник назад (сложить). Это всё та же разделка туши нашего барана .


Для физического процесса нет разницы, представлять ли сигнал целиком или как сумму гармоник. Образно говоря, шашлыка из барана получится ровно столько же, каким бы способом мы не разделали тушу барана.

Но то есть процитируем Финка: "...одиночную гармоническую составляющую импульса выделить принципиально нельзя. Как бы ни была узка полоса пропускания фильтра, при воздействии одиночного импульса, имеющего непрерывный спектр, через фильтр пройдёт часть спектра импульса, содержащая континуум частот. Если бы вместо одиночного импульса подали периодическую последовательность одинаковых импульсов, спектр которых линейчатый, то достаточно узкополосный фильтр мог бы выделить гармоническую составляющую."
1) То есть я прихожу к выводу, что гармонические составляющие периодического сигнала существуют. Более того их можно выделить из общего сигнала.
2) Но с другой стороны эти гармонические составляющие сигнала полученные Фурье-преобразованием, всего лишь один из способов разложения сигнала на составляющие. Есть и другие способы разложить сигнал - функции Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам Чебышева и т.д. Что важно, один и тот же сигнал можно разложить разными методами. Поэтому на мой взгляд наиболее точно суть этой операции отражает слово "выделить". Не разложить на "гармоники Фурье", а выделить "гармоники Фурье". То есть говоря "выделить", я имею ввиду, что объективно существует электромагнитный сигнал, из которого можно объективно выделить его составляющие разными методами. При этом его выделенные составляющие не являются самостоятельными частями, а являются частями самого сигнала, одной из его характеристик.
При этом мы можем взять проанализировать сигнал, разложить его например преобразованием Лежандра. Потом взять генераторы генерирующие выделенные составляющие, подать их в линию и получить такой же сигнал как и до разложения. При этом если мы выделим например 10 составляющих, а подадим в линию только 9, то исходного сигнала мы не получим.
Я хочу сказать, что само явление электромагнитного сигнала, позволяет нам выделять из него составляющие и собирать его из составляющих. При этом сами составляющие могут как существовать самостоятельно(когда мы их генерируем для дальнейшего слияния) так и быть только свойством сигнала(когда мы просто выделили один из его компонентов). При этом сам сигнал при выделении из него гармоник не куда не исчезает он продолжает объективно существовать, просто на другие его части мы не обращаем внимание. Также при сложении сигнала из гармоник, его не существует как единого целого, до того момента как мы их сложили.
Правильно ли я всё понял?

[ViKo]

Но то есть процитируем Финка: "...одиночную гармоническую составляющую импульса выделить принципиально нельзя. Как бы ни была узка полоса пропускания фильтра, при воздействии одиночного импульса, имеющего непрерывный спектр, через фильтр пройдёт часть спектра импульса, содержащая континуум частот. Если бы вместо одиночного импульса подали периодическую последовательность одинаковых импульсов, спектр которых линейчатый, то достаточно узкополосный фильтр мог бы выделить гармоническую составляющую."
...
Правильно ли я всё понял?

У одиночного импульса нет ни основного тона (первой гармоники, частоты повторения), ни высших гармоник. Нельзя выделить то, чего нет. У него будет сплошной спектр, с огибающей, определяемой формой этого сигнала.
По-остальному - вроде, всё правильно (хотя вопрос относился не ко мне, а судя по объемной цитате... можно и вырезать ненужное, зачем дублировать целиком).

[Cynic]

У одиночного импульса нет ни основного тона (первой гармоники, частоты повторения), ни высших гармоник. Нельзя выделить то, чего нет. У него будет сплошной спектр, с огибающей, определяемой формой этого сигнала.
По-остальному - вроде, всё правильно (хотя вопрос относился не ко мне, а судя по объемной цитате... можно и вырезать ненужное, зачем дублировать целиком).

Короче, подведём черту:
1) Сигнал можно разложить на части, можно собрать из частей это свойство электромагнитного сигнала.
2) Разобрать на части можно разными способами, но потом собрав из этого, получим тот-же сигнал.
3) Сам сигнал обладает некоторыми свойствами. Спектр сигнала это просто удобное описание этих свойств, природа самих свойств либо неизвестна(по крайней мере мне их ни кто объяснить не смог) либо сложна, для того чтобы в них углубляться. Нужно просто принять, что любой сигнал имеет спектр, который влияет на изменение сигнала при прохождении некоторой электрической системы.