Выделение полезного сигнала, сглаживание, на фоне шума, Какие есть способы? И какие лучше в конкретных ситуациях Опции

[DmitriyX]

Имеется следующая задача на курсовой проект.
Известны отсчеты траектории одного движущегося объекта в прямоугольной системе координат. Существует погрешность измерения положения объекта и шумы. Необходимо на основе полученной информации максимально сгладить шумы, не имея при этом существенного запаздывания воспроизведения траектории (на случай, если объект начнет маневрировать). Объект, допустим, самолет. Обработка в реальном времени.
На данный момент попробовал реализовать стандартный дискретный фильтр Калмана при сглаживании зашумленной гармоники. Если требуется сгладить ее идеально, то обнаруживается запаздывание. А узкополосность может привести к временной потере местоположения реального маневрирующего объекта. Фильтр Калмана - единственное, что я понял на данный момент из области траекторной обработки. Но слышал, что стандартный фильтр Калмана не применим на практике, т.к. при большом уровне зашумленности либо не сглаживает, либо приводит к запаздыванию. И еще я не понял: чем фильтр Калмана лучше стандартного инерционного звена (1/(TS+1)), которое чем уже полоса, тем лучше сглаживает, но больше запаздывает?
Не могли бы Вы посоветовать названия и если можно, то общие идеи, достоинства и недостатки, более совершенных алгоритмов сглаживания/выделения сигнала на фоне больших шумов при траекторной обработке. Или литературу, желательно в электронном виде, в которой может быть интересующая меня информация. Пока не знаю, где копать.

Спасибо огромное всем заранее

[NickNich]

Большая часть алгоритмов сглаживания траектории основана на покоординатном приближении этой траектории полиномами некторой степени (как правило - не выше второй, что соответствует локально-равноускоренному движению). Можно повысить степень приближающего полинома, если уровень измерительных шумов позволяет. Собственно сглаживание, в этом случае, состоит в вычислении колэффициентов этих полиномов по измерениям координат. Ещё, для получения окончательной структуры полиномиального фильтра, требуется критерий качества обработки информации - как правило, это минимум среднего квадрата ошибки в выходной величине фильтра. Как уже было отмечено, вычисление может быть рекурсивным и нерекурсивным.

1. В нерекурсивных алгоритмах коэффициенты приближающих полиномов вычисляются на основании конечного числа последних полученных отсчётов, вырезаемых скользящим окном. Методом наименьших квадратов ищется наилучьший полином, который приближает N последних полученных отсчётов координат. Сглаженной оценкой координаты является значение этого полинома в текущий момент измерения. Скорости и ускорения цели в этот момент времени рассчитываются через производные от полинома. Другое название этого класса фильтров - фильтры с конечной памятью. Вариаций на тему некурсивных алгоритмов можно придумать множество - например ввести убывание веса отсчёта с удалением его от текущего момента времени, можно управлять количеством накопленных отсчётов, по которым рассчитывается приближение и т.д.

2. Рекурсивные алгоритмы (в т.ч. и фильтр Калмана) строятся на основе того же метода - приближения участка траектории некоторым полиномом. Но здесь уже приближаемым участком является вся пройденная траектория, начиная от момента начала работы измерителя до текущего момента измерения. Эти алгоритмы можно построить так, чтобы они требовали меньше памяти и объёма вычислений. Эти фильтры ещё называются фильтрами с бесконечной памятью.

У них есть недостаток - с течением времени такой алгоритм перестаёт "чувствовать" вновь полученные измерения. Метод борьбы с таким недостатком - экспоненциальное убывание веса прошлого измерения (экспоненциальное забывание) мо мере удаления его от текущего момента измерения. После этого эффективный вклад в сглаженную оценку даёт небольшое число последних измерений. Такое рекурсивные фильтры называют фильтрами с эффективной конечной памятью.

3. Если компонентами вектора состояния Вашего фильтра Калмана являются текущая координата, скорость и ускорение (и т.д.) цели, а матрица шума состояния равна нулю, то это полиномиальный фильтр с бесконечной памятью. Просто для этого частного случая каноническая структура фильтра К. совпадает со структурой рекурсивного полиномиального фильтра. со всеми своейственными ему проблемами.

Какой из этих фильтров выбрать - с конечной памятью, или с эффективной конечной памятью (с бесконечной памятью выбирать не надо, т.к. траектория непредсказуема заранее) определяется доступными вычислительными средствами.

Иправильно спроектированный фильтр Калмана лучше инерционного звена тем, что он даёт наилучшую, в смысле минимума среднего квадрата ошибки, оценку измеряемого сигнала в классе линейных фильтров. Инерционное звено относится к этому классу. Т.е. ФК будет точнее оценивать измеряемый сигнал.

По поводу электронной литературы - поищите "Tracking and Kalman Filtering Made Easy". Я её скачал откуда-то, но не помню откуда...