Перетекание тока между кондёрами - система дифур для детей., Познавательная разминка для ума Опции

[javalenok]

Два кондёра. В начальный момент один заряженный (U1) другой - нет (U2=0). Их разделяет ключ и катушка (L). На качественном уровне рассуждений, при замыкании ключа, ток из C1 потечёт в C2. Потом он остановиться и потечёт в обратную сторону. Ограничимся одним периодом, поставив идеальный диод в направлении тока.

Поставим кондёры одной ногой на землю. Можно записать следущие уравнения:

Код

(1) di/dt = (U1-U2)/L
(2) dU1/dt = -i/C1   => (дифф по t) => -U1'' = i'/C1 => -C1U1'' = i'
(3) dU2/dt = i/C2   => (дифф по t) => U2'' = i'/C2 => C2U2'' = i'

откуда

(4) (U1-U2)/L = -C1U1'' = C2U2''

Не умею решить систему (4). Может кондёры можно в 1 эквивалентный свести и получить обычный гармонический осциллятор?

К чему я вобще за неё взялся, в чём соль задачи? Недавно познакомился со схемой удвоителя напряжения на конденцаторах. По отзывам рекомендателей - идеальная схема для повышения постоянных напряжений умеренной мощности. При использовании ШИМ позволяет получить любые коэффициенты. Главное достоинство - отсутствие каких-либо шумов. Однако, собственное расследование, с обращеним в всемирному разуму приоткрыло глаза. Оказалось, что она работает более-менее эффективно только благодаря паразитным индуктивностям. Известен курьёзный случай с одним американским оборонным проектом, когда для повышения КПД избавились от индуктивности... и схема перестала работать.

Парадокс в том, что когда у вас есть два, для простоты одинаковых, конденцатора один из которых заряжен до U и следовательно обладает энергией E0 = C*U^2/2, а второй - пустой, то при их соеденении половина заряда перетекает на второй и общая энергия становиться E1 = C*(U/2)^2/2 * 2 = C*U^2/4 = E0/2, т.е. уменьшается вдвое. Другими словами, столб воды высотой 2h вчетверо более энергетичен другого высотой h. По-видимому, при соеденении сосудов нельзя забывать про переходный (колебательный) процесс. Все заряды сперва полностью перетикают в одну ёмкость, затем возвращаются в первую. Инерция - та физическая сущность, что доставляет потенциал из одного места в другое. Процесс останавливается из-за резистивных потерь на трение. Мой интерес узнать сколько энергии теряется за один полупериод колебаний. Ирает ли роль отношение паразитных сопротивления и индуктивности на КПД, в смысле нужно ли ставить дополнительную катушку, для повышения КПД?

Чуть по-позжее, в уравнения нужно будет добавить резистор.

[Andrew10]

Ну тогда поехали по полной. См. прикрепленный файл.

Прикрепленные файлы

 1.pdf ( 37.78 килобайт ) Кол-во скачиваний: 184

 

[javalenok]

Ну тогда поехали по полной. См. прикрепленный файл.

Что-то прочтение Фейнмна как-то не помогает решать уравнения вида x''+w^2x = const. Когда сила в правой стороне уравнения представлена косинусом или константа 0, то - нет проблем, но когда там константа не равная нулю - проблема. В принципе, нуль можно рассматривать как гармоническое колебание нулевой амплитуды, а любую постоянную как колебание нулевой частоты. Или даже разложить постоянную в ряд фурье на гармонические колебания, решить и сложить решения по принцыпу суперпозиции откликов линейной системы. Вот вы как поступили?

В связи с этим, хочется узнать, как вы решили уравнение u1''+w^2u1 = u01/c2L? Должно быть какое-то известное общее решение. Верно? Как составили - догадался. Из закона сохранения заряда u2 = c1/c2*u1+q0/c2. Подставляем полученное выражение для u2(u1) в i' = (u1-u2)/L = u1/L*(1-c1/c2)-q0/c2L. После чего деффиринцируем u1' = -i/c1, получая u1'' = -1/c1*i' и подставляем наше выражение для тока i(u1): u1'' = -1/c1L *(1-c1/c2)u1 + q0/c1c2L. Частота маятника в механике w=sqrt(k/m), в электричестве аналогом массы является L, а 1/С - аналогом жёсткости пружины, поэтому обозначв (1-c1/c2)/c1 через k и получим u1'' + k/L u1 = u10/c2L, где u10 - начальное напряжение первого конденцатора. Осталось его решить.

Я пощёл по такому пути - продиффиринцировал ещё разок. Получилось u1'''+ k/L u1' = 0, то есть константа справа исчезла. Такие штуки мы решать умеем, просто пишем u1 = A cos(wt) или Aexp(iwt) для понта:
u1' = -w A sinwt;
u1'' = -w^2 A coswt;
u1''' = w^3 A sinwt;

w^3 A sinwt - k/L w A sinwt = 0 | : A w sinwt
w^2 - k/L = 0, откуда частота колебаний w = sqrt(k/L), как и положено.

Но не всё ладно в датском королевстве. Подстановка в исходное диффуро -w^2 A coswt + w^2 A coswt = 0 = u10/c2L, что не верно. Видать, в некоторых случаях нельзя дифференцировать обе части уравнения, во избавлении от нежелательных членов.



Поначалу, я пробавал решить относительно тока. Дифференцируя i' = u1/L*(1-c1/c2) - q0/Lc2 получим i'' = u1'/L*(1-c1/c2) = [u1' = -i/c1] = -i/Lc1*(1-c1/c2). Обозначая по традиции (1-c1/c2)/c1 = k, получаем тривиальное i'' + k/L i = 0. Очевидно, что уравнение совершенно ошибочно, поскольку решение в виде cosWt подразумевает начальнй ток в момент t=0. Вышеприведённый вариант с напряжением пропорциональным косинусу более правдоподобен. Такое чувство что любую линейную систему можно не нарушая правил математики свести к уравнению x'' = - k/L x, хотя это не гарантирует правильного решения. По-видимому уравнения нельзя дифференцировать когда есть независимые члены (от времени).

Чего-то фейнман недоговорил. Или я недоглядел. Неужели физику на это дело надо ещё доплнительный спецкурс математики проходить?