Перетекание тока между кондёрами - система дифур для детей., Познавательная разминка для ума Опции

[javalenok]

Два кондёра. В начальный момент один заряженный (U1) другой - нет (U2=0). Их разделяет ключ и катушка (L). На качественном уровне рассуждений, при замыкании ключа, ток из C1 потечёт в C2. Потом он остановиться и потечёт в обратную сторону. Ограничимся одним периодом, поставив идеальный диод в направлении тока.

Поставим кондёры одной ногой на землю. Можно записать следущие уравнения:

Код

(1) di/dt = (U1-U2)/L
(2) dU1/dt = -i/C1   => (дифф по t) => -U1'' = i'/C1 => -C1U1'' = i'
(3) dU2/dt = i/C2   => (дифф по t) => U2'' = i'/C2 => C2U2'' = i'

откуда

(4) (U1-U2)/L = -C1U1'' = C2U2''

Не умею решить систему (4). Может кондёры можно в 1 эквивалентный свести и получить обычный гармонический осциллятор?

К чему я вобще за неё взялся, в чём соль задачи? Недавно познакомился со схемой удвоителя напряжения на конденцаторах. По отзывам рекомендателей - идеальная схема для повышения постоянных напряжений умеренной мощности. При использовании ШИМ позволяет получить любые коэффициенты. Главное достоинство - отсутствие каких-либо шумов. Однако, собственное расследование, с обращеним в всемирному разуму приоткрыло глаза. Оказалось, что она работает более-менее эффективно только благодаря паразитным индуктивностям. Известен курьёзный случай с одним американским оборонным проектом, когда для повышения КПД избавились от индуктивности... и схема перестала работать.

Парадокс в том, что когда у вас есть два, для простоты одинаковых, конденцатора один из которых заряжен до U и следовательно обладает энергией E0 = C*U^2/2, а второй - пустой, то при их соеденении половина заряда перетекает на второй и общая энергия становиться E1 = C*(U/2)^2/2 * 2 = C*U^2/4 = E0/2, т.е. уменьшается вдвое. Другими словами, столб воды высотой 2h вчетверо более энергетичен другого высотой h. По-видимому, при соеденении сосудов нельзя забывать про переходный (колебательный) процесс. Все заряды сперва полностью перетикают в одну ёмкость, затем возвращаются в первую. Инерция - та физическая сущность, что доставляет потенциал из одного места в другое. Процесс останавливается из-за резистивных потерь на трение. Мой интерес узнать сколько энергии теряется за один полупериод колебаний. Ирает ли роль отношение паразитных сопротивления и индуктивности на КПД, в смысле нужно ли ставить дополнительную катушку, для повышения КПД?

Чуть по-позжее, в уравнения нужно будет добавить резистор.

[Andrew10]

В момент времени Т2 энергия кондёров + тепловая .
Т.к. индуктивность перекачивала заряды от первого кондёра ко второму , то энергия второго кондёра равна энергии к моменту Т1 + энергия индуктивности (теплом в первом приближении можно принебреч )

Насколько я понимаю, интересует именно влияние сопротивления, поэтому теплом пренебрегать нежелательно.

Для того, чтобы научиться решать дифуры подобного типа, рекомендую книжку
Федорюк. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Это, насколько я помню, физтеховский учебник.

Решение уравнения осциллятора с затуханием и произвольной правой частью может быть выписано в явном виде, благодаря линейности уравнения.
Если уравнение осциллятора имеет вид
,
то его решение, удовлетворяющее условиям x=x0 и dx/dt = v0 при t=0 имеет вид


Здесь

Бери произвольную силу F(t), интегрируй и все.

Для того, чтобы научиться оперировать с такими уравнениями, могу порекомендовать сравнительно новую книгу на русском языке:
Д.И.Трубецков, А.Г.Рожнев. Линейные колебания и волны.
Про осциллятор под внешним воздействием читай главы 5 и 6.

В сети в электронном виде ее нет, поэтому выкладываю файл на webfile.ru. Это рукопись, как она была представлена в редакцию, а не сканы. Ко мне попала от авторов.
Провайдер ограничивает размер отсылаемых файлов, поэтому все разбито на два по 2 Мгб.

_http://webfile.ru/885494 файл будет доступен минимум до 06.04.2006 14:55.
_http://webfile.ru/885565 файл будет доступен минимум до 06.04.2006 15:29

Пароль на архив: electronix.ru

[javalenok]

Спасибо огромное, вы в полной мере удовлетварили мой интерес. Только анализ формулы озадачил маленько. На первый взгляд, всё вроде понятно, смысл всех закорючек ясен. Однако выходит, что если сила потоянная, то второй член суммы, который с интегралом, равен нулю. Значит получается, что значения не имеет и его можно принять нулевым? Когда нет трения остаётся:

x(t) = x0 cos(wt) + v0/w * sin(wt),
w = w0.

Коль скоро ток наш начальный равен нулю, то и синус тоже отпадает. Однако решение u1(t) = u10 cos(w0t) не соответствует приведённому в ПДФ файле. Дополнительное замешательство вызвано реактивным синусом v0/w * sin(wt), который бы вклинился в гармоническое колебание, придай мы нашей катушке начальный ток..

Сообщение отредактировал javalenok - Mar 30 2006, 15:35