метод наименьших квадратов, как оценить необходимую разрядность представления чисел Опции

[net]

есть набор данных эксперимента N*{x,y}
нужно подобрать коэффициенты полинома степени M для аппроксимации эксперимента

для решения данной задачи использую метод наименьших квадратов, в качестве полинома базисные функции полиномы чебышева, при решении матрицы используется сингулярное разложение


ВОПРОС
как оценить необходимую разрядную сетку представления чисел в ЭВМ необходимую для обеспечения данного метода


в литературе как то смутно написано что типа работает и при больших степенях полинома
но хотелось бы
1 посмотреть на вывод данного утверждения
2 посмотреть формулы для разрядности представления чисел не влияющей на точность аппроксимации

или дайте ссылку с данными выводами
спасибо

[Xenia]

Кто подскажет, как из коэффициентов разложения в ряд Чебышева, можно получить коэффициенты обычного степенного разложения типа ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f ?

Когда-то даже видела рекомендацию, не считайте, мол, степенные коэффициенты в лоб, т.к. при решении нормальных уравнений матрица окажется плохо обусловлена. А считайте сперва полиномы Чебышева, а степенные коэффициенты получите из них.

Несколько раз бросалась искать ту рекомендацию в Google, но из-за обилия паразитных ссылок так и не нашла. А в этой теме, похоже, как раз намекается на тот метод. Подскажите, где искать про это, если кто помнит!

P.S. Среди студенческих рефератов (большего я так и не нашла) бродит такой абзац:

Преобразование коэффициентов полинома Чебышева в коэффициенты традиционного многочлена
Вводим коэффициенты a₀, a₁, …, a_n многочлена T(x) и образуем массив a_i
Для j = 2, 3, …, n и k = n, n-1, …, j в первом случае поднимаясь, а во втором спускаясь, осуществляем преобразование коэффициентов по следующим формулам:
а) a_k-1 = a_k-2 - a_k
б) a_k = 2a_k
В результате получаем коэффициенты полинома P_n(x)
http://100balov.com/data/rus/Drygoe/26/POL...ChEBIrShEVA.rtf

Однако ж ничего из этого объяснения не поняла , а большего там и не было.

[iiv]

Когда-то даже видела рекомендацию, не считайте, мол, степенные коэффициенты в лоб, т.к. при решении нормальных уравнений матрица окажется плохо обусловлена. А считайте сперва полиномы Чебышева, а степенные коэффициенты получите из них.

У Вас координаты сетки интерполяции на чебышевских точках, или на равномерных заданы? Если на равномерных, то при конвертации из Чебышевской в степенное представление, Вы и получите опять эту же ошибку. Если у Вас сетка на Чебышевских точках, то матрица интерполяционных коэффициентов будет хорошо обусловлена.

[Xenia]

У Вас координаты сетки интерполяции на чебышевских точках, или на равномерных заданы?

У меня равномерная сетка. Физически это замеры АЦП в периодическом режиме.

Если на равномерных, то при конвертации из Чебышевской в степенное представление, Вы и получите опять эту же ошибку.

А я согласна получить ошибку, вы только скажите, как конвертировать!

[iiv]

А я согласна получить ошибку, вы только скажите, как конвертировать!

А в лоб по определению разве сложно?

Код

T_0 = 1;
T_1(x) = x;
T_{k+1}(x) = 2 x T_k(x) – T_{k–1}(x).

Пишем простенькую программку, которая вычисляет коэффициенты полинома исходя из этой рекурсии. Коэффициенты все целочисленные, при их вычислении ошибок не будет, только рости они будут очень не по-децки, полином 40-ей степени уже не влезет в 64-битную арифметику:

Код

#include <stdio.h>

int main()
{ unsigned int i, j, k, N=64;
  long long A[N][N];

  A[0][0]=1;
  A[1][0]=0;
  A[1][1]=1;
  for(i=2; i<40; i++)
  { for(j=0; j<i-1; j++)
      A[i][j]=-A[i-2][j];
    A[i][i]=2*A[i-1][i-1];
    for(j=1; j<i; j++)
      A[i][j]+=2*A[i-1][j-1];
    for(j=0; j<i+1; j++)
      printf("%lld ", A[i][j]);
    printf("\n");
  }
  return 0;
}

[_Pasha]

Коэффициенты все целочисленные, при их вычислении ошибок не будет, только рости они будут очень не по-децки, полином 40-ей степени уже не влезет в 64-битную арифметику:

Для полиномов первого рода все операции fixed point, рост разрядности отменяется.
Али я неправ?