Объясните на пальцах преобразование Фурье. Опции

[GetSmart]

Преобразование Фурье "прикладывает" к сигналу синусоиды и косинусоиды различных частот и вычисляет похожесть сигнала на эти прикладываемые синусоиды.

На этот раз чертовски верно
А вот в книжках так же ясно объясняют?

[N-S]

Что в левой что в правой части Вашего выражения есть i, мне непонятно куда его девать потом

Вот объясните, зачем её (мнимую единицу) куда-то "потом девать", чем она Вам так не нравится?

после преобразования у нас нет i

Это неверно. Преобразование Фурье-комплексная функция.
Попробуйте посмотреть на e^iwt как на "комплексный аналог" синуса и косинуса (cos(wt)=Re[e^iwt], sin(wt)=Im[e^iwt]).

Сообщение отредактировал N-S - Feb 2 2012, 12:00

[Alexey Lukin]

Что в левой что в правой части Вашего выражения есть i, мне непонятно куда его девать потом.

Это для более короткой записи интеграла с синусом и интеграла с косинусом с помощью единой формулы. Интеграл с eⁱ — это интеграл с косинусом + i * интеграл с синусом. Т.е. каждый комплексный коэффициент преобразования Фурье хранит 2 интеграла: с косинусом (в действительной части) и с синусом (в мнимой части).

[Игорек]

Это для более короткой записи интеграла с синусом и интеграла с косинусом с помощью единой формулы.

А какова будет более длинная запись?

[Alexey Lukin]

Re F(w) = интеграл от произведения сигнала на косинус частоты w,
Im F(w) = интеграл от произведения сигнала на синус частоты w.

(здесь F(w) — преобразование Фурье)

Сообщение отредактировал Alexey Lukin - Feb 2 2012, 20:25

[blackfin]

Im F(w) = интеграл от произведения сигнала на синус частоты w.

Im F(w) = интеграл от произведения сигнала на синус частоты минус w.

[Alexey Lukin]

...который равен минус синусу частоты w.

[blackfin]

...который равен минус синусу частоты w.

Ну, да.. ну, да..

[Игорек]

Вот эта книжка спасет топикстартера.
http://www.kodges.ru/25027-cifrovaja-obrabotka-signalov.html

Спасибо, мельком пролистал - довольно интересно. Щас поизучаем!!!

[zöner]

man свертка
Фурье - интегралы свертки для разных частот, кратных фундаментальной частоте (как правило, частоте выборки)

Сообщение отредактировал zöner - Jun 2 2013, 10:36

[x893]

Сделать таблицу на четверть синусоиды и потом прямо в целочисленной арифметике (int32) все можно посчитать - скорость ~ 1 ms на 1024 точки. Использую для рисования он-лайн спектра - 6 kHz полоса, 12 kHz квантование. + рисование на дисплее. в общем real-time полный.Даже сделал 3D на 8 seconds. Использовал ультразвуковой датчик с гидроизоляцией и под водой смотрел где рыба находится. При движении видно прямо на экране куда крючок кидать.

[Alex11]

Что в левой что в правой части Вашего выражения есть i, мне непонятно куда его девать потом

Девать ее можно только в ситуации, когда Вам нужен спектр. Тогда берете модуль функции Фурье (корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей).

[Tarbal]

Преобразование Фурье. Объяснение на пальцах.

В прямоугольных координатах можно разложить вектор на проекции. Фурье придумал как подобное сделать для периодических функций и изложил свою мысль в теореме Фурье.

Попробую изложить это своими словами.
Оказывается что скалярное произведение векторов (а именно с его помощью получают проекцию вектора на ось координат) для функции будет выглядеть как корелляция.
В воображаемом многомерном функциональном просранстве некореллирующие между собой функции образуют оси координат. Функциональных координат.
Если посчитать корелляции синусов и косинусов между собой на интервале периода частоты f, причем частоты участвующих синусов и косинусов являются произведением частоты f на целое число, то все они будут равну нулю, а значит все эти синусы и косинусы образуют систему координат. Причем периодическую функцию частоты f можно представить как сумму всех синусов и косинусов индивидуально умноженных на проекции на ось. Таком образом можно представить периодичаскую функцию в виде суммы или ряда Фурье.
Каждая индивидуальная амплитуда рассчитывается как корелляция разлагаемой функции с соответствующей "осью" -- функцией синуса или косинуса.

Подсчет корелляций и есть разложение в ряд Фурье. В пределе из ряда получают интеграл. Интергал для подсчета корелляций и есть преобразование Фурье.
Кстати дискретное преобразование Фурье это разложение в ряд Фурье.
Получение разложенного функционального "вектора" из проекций называется обратным преобразованием Фурье.

Теперь о мнимой составляющей.
Преобразование Фурье совершается над двумерным вектором. Двумерный вектор определяется двумя числами. Это либо проекции (сейчас в привычном смысле) на оси X и Y, либо в полярных координатах угол и длина вектора.
Прекрасно разработанный аппарат комплексных чисел позволяет записать преобразование Фурье в комплексном виде, но мнимая часть это просто дань аппарату. Она реальная вторая координата и ее представляют либо в видекомплексного числа(вектора, представленного в декартовых координатах, либо через экспоненту с мнимым показателем, что соответствует представлению в полярных координатах)

Математически полное и исчерпывающее освещение этого вопроса приведено здесь:

http://d.theupload.info/down/herm6xxiq7wz9...naliza__v_.djvu

Когда я был студентом и прочитал его, то пришел в восторг от изящности изложения.


Сообщение отредактировал Tarbal - Aug 23 2013, 14:32

[mov]

Ссылка не работает.

[Tarbal]

Ссылка не работает.

Что-то сломалось при копировании ссылки.
Ильин Поздняк Матанализ том 2. Глава 10 Ряды и интеграл Фурье.

Может так прокатит. У меня открывается начало второго тома, но если листать, то смотрелка падает. Я нашел способ:
1. Открыть книгу
2. Ввести страницу 5 и попадешь на оглавление. Так можно не напороться на проблему с третьей страницей.
http://www.newlibrary.ru/author/ilin_v_a__...njak_ye_g_.html