Ошибка в теореме Котельникова ? Опции

[andran25]

Как известно из теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый
сигнал мог быть оцифрован а затем восстановлен, необходимо и
достаточно, чтобы частота дискретизации была больше или равна
верхней частоте аналогого сигнала.
Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда.
Тогда f = 1 / T = 1 герц, sin( ( 2*pi / T ) * t ) = sin( 2 * pi * t ),
частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды.
Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса
sin( 2 * pi * 0 ) = sin( 2 * pi * 0,5 ) = sin( 2 * pi * 1 ) = 0

Везде получаются нули.
Как же тогда можно восстановить этот синус ?

[wim]

Напоследок скажу одну весчь, о которой не писали в книжках. Точно восстановить из ограниченного количества отсчётов можно только ограниченное множество частот в диапазоне -Fв/2..0..Fв/2. То есть диапазон частот получается прерывистый. Остальные частоты будут частично искажены потому как не ортогональны друг к другу.

Ошибаетесь - даже через две точки (отсчета) можно провести бесконечное множество, прости господи, частот.

Всё, я пошёл отсюда

Жаль. Без Вашего мощного участия тема быстро заглохнет.

У Баскакова теорема Котельникова высказывается так: " Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частоты выше fв, Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени 1/(2fв) сек."
У Гоноровского тоже речь идет о конечном спектре.
Функция, состоящая из частот- мало понятно, для меня, во всяком случае.

Совершенно верно, просто в те времена, когда была сформулирована теорема Котельникова, спектр сигнала представляли в виде набора отдельных частот. Говорят, были даже попытки отфильтровать сигнал от шума, пропуская его через линейку узкополосных фильтров. Есс-но, на выходе исходный сигнал не "сложился".

[Kompot]

Кое-что упустили - частоту синусоиды тоже надо восстановить.

Посыпаю голову пеплом

Имелось в виду, что есть априорная информация о форме сигнала максимальной частоты - синус.
А для всех частот ниже этой - восстановление будет выполнено автоматически, кусочками этого синуса.

[Designer56]

Совершенно верно, просто в те времена, когда была сформулирована теорема Котельникова, спектр сигнала представляли в виде набора отдельных частот. Говорят, были даже попытки отфильтровать сигнал от шума, пропуская его через линейку узкополосных фильтров. Есс-но, на выходе исходный сигнал не "сложился".

Почему это так Вы думаете? В теореме нет ни слова о непрерывности или разрывности спектра. Ортогональные преобразования были известны задолго до того...

Строго говоря, уже указывалось, гармонические сигналы спектра не имеют. Если не считать уже упомянутое выражение через дельта- функцию.

[Atridies]

Именно поэтому CD звук дискретизирован 44.1 KHz

Эээээ.. Где это так принято?

Вы про фазу спросите? Так это совсем другая песня. Если модулируете по фазе, в сигнале появляются синусоидальные же компоненты повышенных частот. И требуемая частота дискретизации повышается.

Правильно, поэтому ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ полоса CD - это 22,05КГц. Но реально амплитуда частот около верхней границы будет падать. То бишь завал на ВЧ ). И кстати фаза тоже поплывет, но это уже не так страшно, т.к. фазу ухо не слышит.
Смысл теоремы Котельникова: в том что НЕЛЬЗЯ восстановить сигнал, если дискретизировать с меньшей, чем в 2 раза - частотой.
Принято это в цифровой обработе сигналов. Никому в голову не придет дискретизировать с F=2Fmax, разве что известна фаза сигнала.

Ошибаетесь - даже через две точки (отсчета) можно провести бесконечное множество, прости господи, частот.

Жаль. Без Вашего мощного участия тема быстро заглохнет.


Совершенно верно, просто в те времена, когда была сформулирована теорема Котельникова, спектр сигнала представляли в виде набора отдельных частот. Говорят, были даже попытки отфильтровать сигнал от шума, пропуская его через линейку узкополосных фильтров. Есс-но, на выходе исходный сигнал не "сложился".

Все сложится, если правильно фильтровать (конечно с поправками на физическую реализацию фильтров). На этом принципе работаю вокодеры: есть несколько звуковых частот, необходимых для разбора букв. Их определенным образом обозначают, а потом передают только их параметры. Получается гораздо меньший поток.

[wim]

Все сложится, если правильно фильтровать (конечно с поправками на физическую реализацию фильтров). На этом принципе работаю вокодеры: есть несколько звуковых частот, необходимых для разбора букв. Их определенным образом обозначают, а потом передают только их параметры. Получается гораздо меньший поток.

Любой фильтр, независимо от физической реализации осуществляет свертку сигнала со своей передаточной характеристикой, после чего информация о фазе гармонических составляющих исходного сигнала будет безвозвратно утеряна. Вокодер не восстанавливает исходный сигнал, он конструирует сигнал, похожий на исходный. С потерей информации, есс-но.

[Designer56]

Любой фильтр, независимо от физической реализации осуществляет свертку сигнала со своей передаточной характеристикой, после чего информация о фазе гармонических составляющих исходного сигнала будет безвозвратно утеряна. Вокодер не восстанавливает исходный сигнал, он конструирует сигнал, похожий на исходный. С потерей информации, есс-но.

Причем похожесть определяется чисто субъективно. То же касается всех алгоритмов "сжатия"- МП и тому подобных.

[тау]

Сваял в мультисиме аппаратную реализацию

От генераторы синусоиды 950 Гц сигнал проходит через ФВЧ баттерворта 20-го порядка с частотой среза 1 кГц (-6дБ) и неравномерностью 0.01 в полосе.
затем стоит УВХ , на котором получаем типа отсчеты
Отсчеты делаем частотой 2 кГц (зеленая линия - моменты выборок , синяя - сами отсчеты)
после УВХ и повторителя идет такой же фильтр как и на входе, результат см на рисунке желтым цветом.

Симуляция была с шагом 100nS .

Это частный случай , но для GetSmart-а может что прояснит.

балин - а рисунок вставить не могу

[wim]

Почему это так Вы думаете? В теореме нет ни слова о непрерывности или разрывности спектра. Ортогональные преобразования были известны задолго до того...

Строго говоря, уже указывалось, гармонические сигналы спектра не имеют. Если не считать уже упомянутое выражение через дельта- функцию.

Посмотрел исходный текст:
http://ufn.ru/ru/articles/2006/7/h/
Действительно, понимание спектра вполне современное. А терминология практицки везде - "функция, состоящая из частот".

[rezident]

балин - а рисунок вставить не могу

Подсказка по аттачментам там => http://electronix.ru/forum/index.php?s=&am...st&p=530566

[Designer56]

Посмотрел исходный текст:
http://ufn.ru/ru/articles/2006/7/h/
Действительно, понимание спектра вполне современное. А терминология практицки везде - "функция, состоящая из частот".

Лично для меня противоречие совсем не вопрос- в доказательствах и иллюстрациях самой теоремы показана необходимость ограничения спектра и фильтрации для восстановления. При равенстве fв и Fs/2 наблюдается смыкание краев реплик спектра исходного сигнала на частоте fв. Даже фильтр "Кирпичная стена", физически не реализуемый, имеет неопределенное значение своей АЧХ на этой частоте.

[тау]

Подсказка по аттачментам там => http://electronix.ru/forum/index.php?s=&am...st&p=530566

да, недавно точно было , как описано ,
а сейчас "BB Code Help"




Сообщение отредактировал тау - Jan 19 2009, 16:46

[rezident]

да, недавно точно было , как описано ,
а сейчас "BB Code Help"

Какой хелп? Парой строчек ниже кнопка "Обзор" и рядом зеленый прямоугольник для загрузки (UPLOAD, если выбран язык форума English)?

Эскизы прикрепленных изображений

 

[wim]

Лично для меня противоречие совсем не вопрос- в доказательствах и иллюстрациях самой теоремы показана необходимость ограничения спектра и фильтрации для фосстановления. При равенстве fв и Fs/2 аблюдается смыкание краев реплик спектра исходного сигнала на частоте fв. Даже фильтр "Кирпичная стена", физически не реализуемый, имеет неопределенное значение своей АЧХ на этой частоте.

А, я, кажется, понял в чем засада - включать в диапазон частот до fв саму частоту fв или нет. В формулировке Котельникова это неоднозначно, а вот Гоноровский fв изъял и жизнь сразу стала легче.

[rezident]

А, я, кажется, понял в чем засада - включать в диапазон частот до fв саму частоту fв или нет. В формулировке Котельникова это неоднозначно, а вот Гоноровский fв изъял и жизнь сразу стала легче.

ИМХО знак равенства на практике не мешает потому, что реальные сигналы никогда не бывают со строго определенными параметрами, заданными с бесконечно высокой точностью. Всегда существует дисперсия сигнала и восстановить реальный сигнал с частотой fb/2 дискретизированный на частоте fb с определенной (небесконечной) точностью на интервале времени в пределе стремящемся к бесконечности становится возможным. А чтобы и теория тоже была похожа на реальность, знак равенства изъяли Не забываем, что "практика - критерий истины".

[Designer56]

Из самой статьи Котельникова видно, что он имел ввиду обработку сигнала, имеющего ограниченный спектр, т.е. в первую очередь не гармонического. Да и неинтересен гармонический- достаточно передать три числа: амплитуду, фазу и частоту.