|
Можно ли вычислить интеграл? Где посмотреть?, Чистая математика |
|
|
|
Jul 17 2018, 15:09
|
Местный
Группа: Участник
Сообщений: 211
Регистрация: 25-10-09
Пользователь №: 53 195
|
Цитата(Serge V Iz @ Jul 17 2018, 18:46) Если я не ошибаюсь, то интеграл sin x/x^2, не должен сходиться в окрестности 0. Соответственно H(0) неопределено. Похоже. Ну, положим, там дельта - функция. А на остальной оси? Цитата(blackfin @ Jul 17 2018, 18:59) Да. Но как его брать?
|
|
|
|
|
Jul 17 2018, 15:28
|
Гуру
Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261
|
Цитата(Дмитрий_Б @ Jul 17 2018, 18:09) Да. Но как его брать? ЕМНИП, через вычеты. У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши. Метод такой: Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω. По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции. Вычет в точке x = 0 равен нулю. Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω. Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно. Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x 2, оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю. Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно. Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить. В итоге получаете: ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω. Если ничего не напутал..
|
|
|
|
|
Jul 17 2018, 17:07
|
Местный
Группа: Участник
Сообщений: 211
Регистрация: 25-10-09
Пользователь №: 53 195
|
Цитата(blackfin @ Jul 17 2018, 19:28) ЕМНИП, через вычеты. У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши. Метод такой: Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω. По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции. Вычет в точке x = 0 равен нулю. Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω. Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно. Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x 2, оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю. Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно. Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить. В итоге получаете: ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω. Если ничего не напутал.. Идея понятна. Есть тут неприятность: теорема о вычетах требует, чтобы на контуре интегрирования не было полюсов - а они как раз на действительной оси. Нас интересует интеграл вдоль действительной оси - это должно быть нижней стороной контура при обычном обходе против часовой стрелки. Другие стороны (будь то прямоугольник или пол-окружности) должны быть бесконечно удалены от 0. Метод работает, если подинтегральная функция комплексного аргумента стремится по модулю к 0 при стремлении к бесконечности модуля комплексного аргумента. И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается. И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду.
|
|
|
|
|
Jul 17 2018, 19:59
|
Гуру
Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261
|
В итоге получается так: [attachment=113606:Hilbert_1.jpg] [attachment=113607:Hilbert_2.jpg] UPD: Исправил ошибки.. То есть, искомый интеграл равен: I(ω) = pi*[1- cos(ω)]/ω.
|
|
|
|
|
Jul 18 2018, 00:23
|
Местный
Группа: Участник
Сообщений: 326
Регистрация: 30-05-06
Пользователь №: 17 602
|
Цитата(Дмитрий_Б @ Jul 17 2018, 18:29) В приложении формула. Если w -> Real ,то не сходится
|
|
|
|
|
Jul 18 2018, 05:05
|
Местный
Группа: Участник
Сообщений: 326
Регистрация: 30-05-06
Пользователь №: 17 602
|
Цитата(blackfin @ Jul 18 2018, 08:18) Всё там сходится, для значений "ω" не равных тождественно нулю. Для такого y = inline ("sin(x)/x/(3-x)"); [q, ier, nfun, err] = quad (y,-1000000000., 1000000000.) Октава выдала ABNORMAL RETURN FROM DQAGP
|
|
|
|
5 чел. читают эту тему (гостей: 5, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0
|
|
|