Можно ли вычислить интеграл? Где посмотреть?, Чистая математика Опции

[Дмитрий_Б]

В приложении формула.

Эскизы прикрепленных изображений

 

[Serge V Iz]

Если я не ошибаюсь, то интеграл sin x/x^2, не должен сходиться в окрестности 0. Соответственно H(0) неопределено.

[blackfin]

Преобразование Гильберта

[Дмитрий_Б]

Если я не ошибаюсь, то интеграл sin x/x^2, не должен сходиться в окрестности 0. Соответственно H(0) неопределено.

Похоже. Ну, положим, там дельта - функция. А на остальной оси?

Преобразование Гильберта

Да. Но как его брать?

[blackfin]

Да. Но как его брать?

ЕМНИП, через вычеты.

У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши.

Метод такой:

Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω.

По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции.

Вычет в точке x = 0 равен нулю.

Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω.

Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно.

Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x², оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю.

Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно.

Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить.

В итоге получаете:

ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω.

Если ничего не напутал..

[Дмитрий_Б]

ЕМНИП, через вычеты.

У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши.

Метод такой:

Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω.

По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции.

Вычет в точке x = 0 равен нулю.

Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω.

Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно.

Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x², оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю.

Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно.

Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить.

В итоге получаете:

ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω.

Если ничего не напутал..

Идея понятна.
Есть тут неприятность: теорема о вычетах требует, чтобы на контуре интегрирования не было полюсов - а они как раз на действительной оси.
Нас интересует интеграл вдоль действительной оси - это должно быть нижней стороной контура при обычном обходе против часовой стрелки.
Другие стороны (будь то прямоугольник или пол-окружности) должны быть бесконечно удалены от 0. Метод работает, если подинтегральная функция комплексного аргумента стремится по модулю к 0 при стремлении к бесконечности модуля комплексного аргумента.
И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается.

И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду.

[blackfin]

И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду.

Ну, там со сменой направления интегрирования не все так просто, как выяснилось..

И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается.

Экспоненциальный рост функции sin(x) при x -> 0±i*∞ при указанном выше пути интегрирования нас, вроде, волновать не должен.

[blackfin]

В итоге получается так:
[attachment=113606:Hilbert_1.jpg]
[attachment=113607:Hilbert_2.jpg]
UPD: Исправил ошибки..

То есть, искомый интеграл равен:

I(ω) = pi*[1- cos(ω)]/ω.

[mcheb]

В приложении формула.

Если w -> Real ,то не сходится

[blackfin]

Если w -> Real ,то не сходится

Всё там сходится, для значений "ω" не равных тождественно нулю.

PS. Кстати, формула, похоже, верна и в точке ω = 0.

[mcheb]

Всё там сходится, для значений "ω" не равных тождественно нулю.

Для такого y = inline ("sin(x)/x/(3-x)");
[q, ier, nfun, err] = quad (y,-1000000000., 1000000000.)
Октава выдала ABNORMAL RETURN FROM DQAGP

[blackfin]

Октава выдала ABNORMAL RETURN FROM DQAGP

А она умеет вычислять главное значение интеграла по Коши?

PS. Кстати, в английской версии Wiki есть табличка с готовыми формулами для преобразования Гильберта sinc-функции.

[thermit]

В итоге получается так:
[attachment=113602:Hilbert.jpg]

UPD: Полученный результат таки нужно поделить на два, так как путь интегрирования проходит через оба полюса.

То есть, искомый интеграл равен:

I(ω) = [1+ cos(ω)]/[2*ω].

Не правильно.

[blackfin]

Не правильно.

Исправил. См. выше..

[thermit]

Да.