Цитата(blackfin @ Jul 17 2018, 19:28)
ЕМНИП, через
вычеты.
У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться
теоремой Коши.
Метод такой:
Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω.
По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции.
Вычет в точке x = 0 равен нулю.
Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω.
Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно.
Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x
2, оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю.
Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно.
Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить.
В итоге получаете:
ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω.
Если ничего не напутал..
Идея понятна.
Есть тут неприятность: теорема о вычетах требует, чтобы на контуре интегрирования не было полюсов - а они как раз на действительной оси.
Нас интересует интеграл вдоль действительной оси - это должно быть нижней стороной контура при обычном обходе против часовой стрелки.
Другие стороны (будь то прямоугольник или пол-окружности) должны быть бесконечно удалены от 0. Метод работает, если подинтегральная функция комплексного аргумента стремится по модулю к 0 при стремлении к бесконечности модуля комплексного аргумента.
И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается.
И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду.