|
Можно ли вычислить интеграл? Где посмотреть?, Чистая математика |
|
|
|
|
Ответов
|
Jul 17 2018, 15:09
|
Местный
Группа: Участник
Сообщений: 211
Регистрация: 25-10-09
Пользователь №: 53 195
|
Цитата(Serge V Iz @ Jul 17 2018, 18:46) Если я не ошибаюсь, то интеграл sin x/x^2, не должен сходиться в окрестности 0. Соответственно H(0) неопределено. Похоже. Ну, положим, там дельта - функция. А на остальной оси? Цитата(blackfin @ Jul 17 2018, 18:59) Да. Но как его брать?
|
|
|
|
|
Jul 17 2018, 15:28
|
Гуру
Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261
|
Цитата(Дмитрий_Б @ Jul 17 2018, 18:09) Да. Но как его брать? ЕМНИП, через вычеты. У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши. Метод такой: Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω. По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции. Вычет в точке x = 0 равен нулю. Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω. Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно. Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x 2, оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю. Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно. Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить. В итоге получаете: ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω. Если ничего не напутал..
|
|
|
|
|
Jul 17 2018, 17:07
|
Местный
Группа: Участник
Сообщений: 211
Регистрация: 25-10-09
Пользователь №: 53 195
|
Цитата(blackfin @ Jul 17 2018, 19:28) ЕМНИП, через вычеты. У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши. Метод такой: Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω. По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции. Вычет в точке x = 0 равен нулю. Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω. Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно. Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x 2, оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю. Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно. Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить. В итоге получаете: ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω. Если ничего не напутал.. Идея понятна. Есть тут неприятность: теорема о вычетах требует, чтобы на контуре интегрирования не было полюсов - а они как раз на действительной оси. Нас интересует интеграл вдоль действительной оси - это должно быть нижней стороной контура при обычном обходе против часовой стрелки. Другие стороны (будь то прямоугольник или пол-окружности) должны быть бесконечно удалены от 0. Метод работает, если подинтегральная функция комплексного аргумента стремится по модулю к 0 при стремлении к бесконечности модуля комплексного аргумента. И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается. И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду.
|
|
|
|
Сообщений в этой теме
Дмитрий_Б Можно ли вычислить интеграл? Где посмотреть? Jul 17 2018, 14:29 blackfin Преобразование Гильберта Jul 17 2018, 14:59 blackfin В итоге получается так:
UPD: Исправил ошибки.. ... Jul 17 2018, 19:59 thermit Цитата(blackfin @ Jul 17 2018, 22:59) В и... Jul 18 2018, 06:28 Дмитрий_Б Цитата(blackfin @ Jul 17 2018, 23:59) В и... Jul 18 2018, 14:23 thermit Цитата(Дмитрий_Б @ Jul 18 2018, 17:23) Сп... Jul 18 2018, 14:37 blackfin Цитата(thermit @ Jul 18 2018, 17:37) .. Э... Jul 18 2018, 18:07 thermit Цитата(blackfin @ Jul 18 2018, 21:07) Так... Jul 18 2018, 19:03 Stanislav Цитата(thermit @ Jul 18 2018, 17:37) Вооб... Jul 20 2018, 00:13 mcheb Цитата(Дмитрий_Б @ Jul 17 2018, 18:29) В ... Jul 18 2018, 00:23 blackfin Цитата(mcheb @ Jul 18 2018, 03:23) Если w... Jul 18 2018, 04:18 mcheb Цитата(blackfin @ Jul 18 2018, 08:18) Всё... Jul 18 2018, 05:05 blackfin Цитата(mcheb @ Jul 18 2018, 08:05) Октава... Jul 18 2018, 05:26 mcheb Цитата(blackfin @ Jul 18 2018, 08:26) А о... Jul 18 2018, 11:04 thermit Цитата(mcheb @ Jul 18 2018, 14:04) Wolfra... Jul 18 2018, 13:54 blackfin Цитата(thermit @ Jul 18 2018, 09:28) Не п... Jul 18 2018, 07:35 thermit Да. Jul 18 2018, 08:15 Hale я вот тоже с интегралами по контурам плохо дружил,... Aug 3 2018, 00:44 blackfin Цитата(Hale @ Aug 3 2018, 03:44) Разобрал... Aug 3 2018, 06:26 Hale да нет никаких обоснований. я же дилетант и делаю ... Aug 3 2018, 09:04 blackfin Цитата(Hale @ Aug 3 2018, 12:04) Опять, S... Aug 3 2018, 09:14 Hale Цитата(blackfin @ Aug 3 2018, 13:14) Что ... Aug 5 2018, 23:35 Дмитрий_Б Цитата(Hale @ Aug 3 2018, 13:04) да нет н... Aug 3 2018, 14:57
2 чел. читают эту тему (гостей: 2, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0
|
|
|