|
Можно ли вычислить интеграл? Где посмотреть?, Чистая математика |
|
|
|
Jul 18 2018, 11:04
|
Местный
Группа: Участник
Сообщений: 326
Регистрация: 30-05-06
Пользователь №: 17 602
|
Цитата(blackfin @ Jul 18 2018, 08:26) А она умеет вычислять главное значение интеграла по Коши? PS. Кстати, в английской версии Wiki есть табличка с готовыми формулами для преобразования Гильберта sinc-функции. Wolfram Matematica выдала "Integral of Sin[x]/(3*x-x^2) does not converge on {-\[Infinity],\\[Infinity]}. " Для функции Sin[x]/(x*(3-x)) Ну она то точно умеет вычислять главное значение интеграла по Коши Но похоже как-то по-своему делает. Всегда сходится
Сообщение отредактировал mcheb - Jul 18 2018, 11:20
|
|
|
|
|
Jul 18 2018, 14:23
|
Местный
Группа: Участник
Сообщений: 211
Регистрация: 25-10-09
Пользователь №: 53 195
|
Цитата(blackfin @ Jul 17 2018, 23:59) В итоге получается так: [attachment=113606:Hilbert_1.jpg] [attachment=113607:Hilbert_2.jpg] UPD: Исправил ошибки.. То есть, искомый интеграл равен: I(ω) = pi*[1- cos(ω)]/ω. Спасибо за помощь. Тоже нашел ответ в справочнике 1974г. К стати, я правильно понял, что интеграл по полуокружности на самом деле брать не надо, он в 2 раза меньше, чем интеграл по окружности, и его можно через вычет получить?
Сообщение отредактировал Дмитрий_Б - Jul 18 2018, 15:26
|
|
|
|
|
Jul 18 2018, 18:07
|
Гуру
Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261
|
Цитата(thermit @ Jul 18 2018, 17:37) .. Это реально примитив. Так, если бы не посредственности, был бы у вас повод заявить миру о своей гениальности?.. Цитата(Дмитрий_Б @ Jul 18 2018, 17:23) Кстати, я правильно понял, что интеграл по полуокружности на самом деле брать не надо, он в 2 раза меньше, чем интеграл по окружности, и его можно через вычет получить? Да, "интеграл по полуокружности в два раза меньше, чем интеграл по окружности, и его можно через вычет получить".. Можно было с самого начала выбрать контур, внутри которого вообще нет полюсов. Но мне показалось, что будет полезно показать взаимосвязь между вычетами и интегралами вдоль вещественной оси..
|
|
|
|
|
Jul 18 2018, 19:03
|
Знающий
Группа: Участник
Сообщений: 781
Регистрация: 3-08-09
Пользователь №: 51 730
|
Цитата(blackfin @ Jul 18 2018, 21:07) Так, если бы не посредственности, был бы у вас повод заявить миру о своей гениальности?.. Не. Это не мое. Я махровый троечник, читай - посредственность. А хрень про интегралы можно прочитать практически в любом учебнике по тфкп совершенно бесплатно ну и возгордиццо, если очень нужно. Цитата Но мне показалось, что будет полезно показать взаимосвязь между вычетами и интегралами вдоль вещественной оси.. И вот про это тоже.
|
|
|
|
|
Jul 20 2018, 00:13
|
Гуру
Группа: Свой
Сообщений: 4 363
Регистрация: 13-05-05
Из: Москва
Пользователь №: 4 987
|
Цитата(thermit @ Jul 18 2018, 17:37) Вообще-то в институтах даже я, троечник, получил свою тройку на экзамене по тфкп только за то, что бодро решил похожий интрегал в присутствии экзаменатора. Это реально примитив. Наверное, так. Для тех, кто что-то ещё помнит. Я, к стыду своему, уже почти не. Хоть и "государственную" по ТФКП получил, скорей, по невезению. "Бытие определяет сознание" (с).
--------------------
Самонадеянность слепа. Сомнения - спутник разума. (с)
|
|
|
|
|
Aug 3 2018, 00:44
|
Знающий
Группа: Свой
Сообщений: 735
Регистрация: 11-10-11
Пользователь №: 67 667
|
я вот тоже с интегралами по контурам плохо дружил, а сейчас еще и забыл все к черту: Цитата В итоге получается так: [attachment=113606:Hilbert_1.jpg] [attachment=113607:Hilbert_2.jpg] UPD: Исправил ошибки.. biggrin.gif А тут аттачменты отвалились и я почитать не могу :-( По поводу Махимы (идеологический аналог Вольфрама): Может, но тупит. Например, чтобы посчитать этот интеграл надо форсировать алгоритм БЕЗ анализа вычетов. integrate(sin(x)/(x*(w-x)), x, minf, inf), intanalysis:false; -(%pi*cos(w)-%pi)/w Но я не уловил как правильно выглядит сам вывод. ========================================== Разобрался. Интеграл решается "в лоб", без высшей математики. Подинтегральное выражение разделяете на части, так чтобы в знаменателях было по одному иксу. Тогда получается (cos(w)SI(x-..)+sin(w)CI(x-..)-SI(x) )/w+C, подставляете пределы, смотрите в справочник: CI(inf)=0, SI(inf)=%pi/2 SI(minf)=-SI(inf), отсюда pi/2 становится pi в множителе. Никаких вычетов. @mcheb, quad - численный интегратор. Хоть вы и подставляете туда аналитическую "функцию", в действительности y становится просто указателем на "безымянную" функцию, и Октаве глубоко пофигу как она выглядит внутри. Отсюда и ошибки. К тому же quad наименее точный интегратор из всего пакета. Инструменты для аналитической математики в Октаве есть только на предопределенный формат для подставляемых коэффициентов, и все так же фактически численные алгоритмы.
|
|
|
|
|
Aug 3 2018, 06:26
|
Гуру
Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261
|
Цитата(Hale @ Aug 3 2018, 03:44) Разобрался. ... Тогда получается (cos(w)SI(x-..)+sin(w)CI(x-..)-SI(x) )/w+C, подставляете пределы, смотрите в справочник: ... Никаких вычетов. Можете привести подробный вывод этой формулы? Хотелось бы понять, как вам удалось перейти от несобственного интеграла с бесконечными пределами к интегралам с переменными верхним и нижним пределами интегрирования: Si(x) и Ci(x) ? Если используется предельный переход, то хотелось бы также увидеть его обоснование..
|
|
|
|
|
Aug 3 2018, 09:04
|
Знающий
Группа: Свой
Сообщений: 735
Регистрация: 11-10-11
Пользователь №: 67 667
|
да нет никаких обоснований. я же дилетант и делаю все в лоб и неправильно через неопределенные интегралы
INT(sin(x)/(x*(w-x)), dx)= INT( sin(x)/(w*x) + sin(x)/(w*(w-x)) , dx)
С первой частью все понятно, откладываем до взятия пределов. Далее
INT( sin(x)/(w-x) , dx): замена u=w-x (пределы все равно останутся плюсминус бесконечность; чи не контур и не вектор, направления нет)
INT( sin(w-u)/u , du)= sin(w)*INT(cos(u)/u, du)-cos(w)*INT(sin(u)/u,du)
Опять, SI(±∞) и CO(±∞), значения приведены ранее. Т.е. интегральный косинус можно отбросить сразу с его множителем. Останется косинус параметра при интегральном синусе, и удвоенный инт. синус в добавке. Все это поделено на параметр в общем знаменателе.
Может грубо и неверно, но результат должен получиться ранее указанный.
|
|
|
|
|
Aug 3 2018, 14:57
|
Местный
Группа: Участник
Сообщений: 211
Регистрация: 25-10-09
Пользователь №: 53 195
|
Цитата(Hale @ Aug 3 2018, 13:04) да нет никаких обоснований. я же дилетант и делаю все в лоб и неправильно через неопределенные интегралы
INT(sin(x)/(x*(w-x)), dx)= INT( sin(x)/(w*x) + sin(x)/(w*(w-x)) , dx)
С первой частью все понятно, откладываем до взятия пределов. Далее
INT( sin(x)/(w-x) , dx): замена u=w-x (пределы все равно останутся плюсминус бесконечность; чи не контур и не вектор, направления нет)
INT( sin(w-u)/u , du)= sin(w)*INT(cos(u)/u, du)-cos(w)*INT(sin(u)/u,du)
Опять, SI(±∞) и CO(±∞), значения приведены ранее. Т.е. интегральный косинус можно отбросить сразу с его множителем. Останется косинус параметра при интегральном синусе, и удвоенный инт. синус в добавке. Все это поделено на параметр в общем знаменателе.
Может грубо и неверно, но результат должен получиться ранее указанный. Браво! Красивый и простой вывод!
|
|
|
|
4 чел. читают эту тему (гостей: 4, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0
|
|
|