реклама на сайте
подробности

 
 
2 страниц V  < 1 2  
Reply to this topicStart new topic
> Можно ли вычислить интеграл? Где посмотреть?, Чистая математика
mcheb
сообщение Jul 18 2018, 11:04
Сообщение #16


Местный
***

Группа: Участник
Сообщений: 326
Регистрация: 30-05-06
Пользователь №: 17 602



Цитата(blackfin @ Jul 18 2018, 08:26) *
А она умеет вычислять главное значение интеграла по Коши?

PS. Кстати, в английской версии Wiki есть табличка с готовыми формулами для преобразования Гильберта sinc-функции.

Wolfram Matematica выдала
"Integral of Sin[x]/(3*x-x^2) does not converge on {-\[Infinity],\\[Infinity]}. "
Для функции Sin[x]/(x*(3-x))
Ну она то точно умеет вычислять главное значение интеграла по Коши

Но похоже как-то по-своему делает. Всегда сходится

Сообщение отредактировал mcheb - Jul 18 2018, 11:20
Go to the top of the page
 
+Quote Post
thermit
сообщение Jul 18 2018, 13:54
Сообщение #17


Знающий
****

Группа: Участник
Сообщений: 781
Регистрация: 3-08-09
Пользователь №: 51 730



Цитата(mcheb @ Jul 18 2018, 14:04) *
Wolfram Matematica выдала
"Integral of Sin[x]/(3*x-x^2) does not converge on {-\[Infinity],\\[Infinity]}. "
Для функции Sin[x]/(x*(3-x))
Ну она то точно умеет вычислять главное значение интеграла по Коши

Но похоже как-то по-своему делает. Всегда сходится


Такой тупняк маткад вычисляет легко.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
Дмитрий_Б
сообщение Jul 18 2018, 14:23
Сообщение #18


Местный
***

Группа: Участник
Сообщений: 211
Регистрация: 25-10-09
Пользователь №: 53 195



Цитата(blackfin @ Jul 17 2018, 23:59) *
В итоге получается так:
[attachment=113606:Hilbert_1.jpg]
[attachment=113607:Hilbert_2.jpg]
UPD: Исправил ошибки.. biggrin.gif

То есть, искомый интеграл равен:

I(ω) = pi*[1- cos(ω)]/ω.


Спасибо за помощь.
Тоже нашел ответ в справочнике 1974г.
К стати, я правильно понял, что интеграл по полуокружности на самом деле брать не надо, он в 2 раза меньше, чем интеграл по окружности, и его можно через вычет получить?

Сообщение отредактировал Дмитрий_Б - Jul 18 2018, 15:26
Go to the top of the page
 
+Quote Post
thermit
сообщение Jul 18 2018, 14:37
Сообщение #19


Знающий
****

Группа: Участник
Сообщений: 781
Регистрация: 3-08-09
Пользователь №: 51 730



Цитата(Дмитрий_Б @ Jul 18 2018, 17:23) *
Спасибо за помощь.
Тоже нашел ответ в справочнике 1974г.


Вообще-то в институтах даже я, троечник, получил свою тройку на экзамене по тфкп только за то, что бодро решил похожий интрегал в присутствии экзаменатора. Это реально примитив.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
blackfin
сообщение Jul 18 2018, 18:07
Сообщение #20


Гуру
******

Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261



Цитата(thermit @ Jul 18 2018, 17:37) *
.. Это реально примитив.

Так, если бы не посредственности, был бы у вас повод заявить миру о своей гениальности?.. biggrin.gif

Цитата(Дмитрий_Б @ Jul 18 2018, 17:23) *
Кстати, я правильно понял, что интеграл по полуокружности на самом деле брать не надо, он в 2 раза меньше, чем интеграл по окружности, и его можно через вычет получить?

Да, "интеграл по полуокружности в два раза меньше, чем интеграл по окружности, и его можно через вычет получить"..

Можно было с самого начала выбрать контур, внутри которого вообще нет полюсов.

Но мне показалось, что будет полезно показать взаимосвязь между вычетами и интегралами вдоль вещественной оси..
Go to the top of the page
 
+Quote Post
thermit
сообщение Jul 18 2018, 19:03
Сообщение #21


Знающий
****

Группа: Участник
Сообщений: 781
Регистрация: 3-08-09
Пользователь №: 51 730



Цитата(blackfin @ Jul 18 2018, 21:07) *
Так, если бы не посредственности, был бы у вас повод заявить миру о своей гениальности?.. biggrin.gif

Не. Это не мое. Я махровый троечник, читай - посредственность. А хрень про интегралы можно прочитать практически в любом учебнике по тфкп совершенно бесплатно ну и возгордиццо, если очень нужно.

Цитата
Но мне показалось, что будет полезно показать взаимосвязь между вычетами и интегралами вдоль вещественной оси..


И вот про это тоже.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
Stanislav
сообщение Jul 20 2018, 00:13
Сообщение #22


Гуру
******

Группа: Свой
Сообщений: 4 363
Регистрация: 13-05-05
Из: Москва
Пользователь №: 4 987



Цитата(thermit @ Jul 18 2018, 17:37) *
Вообще-то в институтах даже я, троечник, получил свою тройку на экзамене по тфкп только за то, что бодро решил похожий интрегал в присутствии экзаменатора. Это реально примитив.
Наверное, так.
Для тех, кто что-то ещё помнит. Я, к стыду своему, уже почти не.
Хоть и "государственную" по ТФКП получил, скорей, по невезению.
"Бытие определяет сознание" (с).


--------------------
Самонадеянность слепа. Сомнения - спутник разума. (с)
Go to the top of the page
 
+Quote Post
Hale
сообщение Aug 3 2018, 00:44
Сообщение #23


Знающий
****

Группа: Свой
Сообщений: 735
Регистрация: 11-10-11
Пользователь №: 67 667



я вот тоже с интегралами по контурам плохо дружил, а сейчас еще и забыл все к черту:

Цитата
В итоге получается так:
[attachment=113606:Hilbert_1.jpg]
[attachment=113607:Hilbert_2.jpg]
UPD: Исправил ошибки.. biggrin.gif

А тут аттачменты отвалились и я почитать не могу :-(

По поводу Махимы (идеологический аналог Вольфрама): Может, но тупит.
Например, чтобы посчитать этот интеграл надо форсировать алгоритм БЕЗ анализа вычетов.
integrate(sin(x)/(x*(w-x)), x, minf, inf),intanalysis:false;
-(%pi*cos(w)-%pi)/w

Но я не уловил как правильно выглядит сам вывод.

==========================================

Разобрался. Интеграл решается "в лоб", без высшей математики.
Подинтегральное выражение разделяете на части, так чтобы в знаменателях было по одному иксу.
Тогда получается (cos(w)SI(x-..)+sin(w)CI(x-..)-SI(x) )/w+C, подставляете пределы, смотрите в справочник:
CI(inf)=0,
SI(inf)=%pi/2
SI(minf)=-SI(inf), отсюда pi/2 становится pi в множителе.

Никаких вычетов.

@mcheb, quad - численный интегратор. Хоть вы и подставляете туда аналитическую "функцию", в действительности y становится просто указателем на "безымянную" функцию, и Октаве глубоко пофигу как она выглядит внутри. Отсюда и ошибки. К тому же quad наименее точный интегратор из всего пакета. Инструменты для аналитической математики в Октаве есть только на предопределенный формат для подставляемых коэффициентов, и все так же фактически численные алгоритмы.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
blackfin
сообщение Aug 3 2018, 06:26
Сообщение #24


Гуру
******

Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261



Цитата(Hale @ Aug 3 2018, 03:44) *
Разобрался.
...
Тогда получается (cos(w)SI(x-..)+sin(w)CI(x-..)-SI(x) )/w+C, подставляете пределы, смотрите в справочник:
...
Никаких вычетов.

Можете привести подробный вывод этой формулы?

Хотелось бы понять, как вам удалось перейти от несобственного интеграла с бесконечными пределами к интегралам с переменными верхним и нижним пределами интегрирования: Si(x) и Ci(x) ?

Если используется предельный переход, то хотелось бы также увидеть его обоснование..
Go to the top of the page
 
+Quote Post
Hale
сообщение Aug 3 2018, 09:04
Сообщение #25


Знающий
****

Группа: Свой
Сообщений: 735
Регистрация: 11-10-11
Пользователь №: 67 667



да нет никаких обоснований. я же дилетант и делаю все в лоб и неправильно через неопределенные интегралы

INT(sin(x)/(x*(w-x)), dx)=
INT( sin(x)/(w*x) + sin(x)/(w*(w-x)) , dx)

С первой частью все понятно, откладываем до взятия пределов.
Далее

INT( sin(x)/(w-x) , dx): замена u=w-x (пределы все равно останутся плюсминус бесконечность; чи не контур и не вектор, направления нет)

INT( sin(w-u)/u , du)= sin(w)*INT(cos(u)/u, du)-cos(w)*INT(sin(u)/u,du)

Опять, SI(±∞) и CO(±∞), значения приведены ранее. Т.е. интегральный косинус можно отбросить сразу с его множителем. Останется косинус параметра при интегральном синусе, и удвоенный инт. синус в добавке. Все это поделено на параметр в общем знаменателе.

Может грубо и неверно, но результат должен получиться ранее указанный.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
blackfin
сообщение Aug 3 2018, 09:14
Сообщение #26


Гуру
******

Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261



Цитата(Hale @ Aug 3 2018, 12:04) *
Опять, SI(±∞) и CO(±∞), значения приведены ранее.

Что такое "CO(±∞)" ? Определение приведите, плиз..
Go to the top of the page
 
+Quote Post
Дмитрий_Б
сообщение Aug 3 2018, 14:57
Сообщение #27


Местный
***

Группа: Участник
Сообщений: 211
Регистрация: 25-10-09
Пользователь №: 53 195



Цитата(Hale @ Aug 3 2018, 13:04) *
да нет никаких обоснований. я же дилетант и делаю все в лоб и неправильно через неопределенные интегралы

INT(sin(x)/(x*(w-x)), dx)=
INT( sin(x)/(w*x) + sin(x)/(w*(w-x)) , dx)

С первой частью все понятно, откладываем до взятия пределов.
Далее

INT( sin(x)/(w-x) , dx): замена u=w-x (пределы все равно останутся плюсминус бесконечность; чи не контур и не вектор, направления нет)

INT( sin(w-u)/u , du)= sin(w)*INT(cos(u)/u, du)-cos(w)*INT(sin(u)/u,du)

Опять, SI(±∞) и CO(±∞), значения приведены ранее. Т.е. интегральный косинус можно отбросить сразу с его множителем. Останется косинус параметра при интегральном синусе, и удвоенный инт. синус в добавке. Все это поделено на параметр в общем знаменателе.

Может грубо и неверно, но результат должен получиться ранее указанный.

Браво!
Красивый и простой вывод!
Go to the top of the page
 
+Quote Post
Hale
сообщение Aug 5 2018, 23:35
Сообщение #28


Знающий
****

Группа: Свой
Сообщений: 735
Регистрация: 11-10-11
Пользователь №: 67 667



Цитата(blackfin @ Aug 3 2018, 13:14) *
Что такое "CO(±∞)" ? Определение приведите, плиз..


Вы правы. Это мое дилетантство, забыл уже университетский курс. Правильно интегральный косинус обозначают Ci(x). Ну а плюсминусбесконечность, думаю понятно.
Go to the top of the page
 
+Quote Post

2 страниц V  < 1 2
Reply to this topicStart new topic
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 


RSS Текстовая версия Сейчас: 14th August 2022 - 15:24
Рейтинг@Mail.ru


Страница сгенерированна за 0.0105 секунд с 7
ELECTRONIX ©2004-2016