Задачка из области радиолокации, статистики, помогите решить Опции

[Алексей224]

Имеетcя диcкретная поcледовательность измерений кooрдинат движущейcя тoчки. Ошибки измеpений ноpмальные с известнoй диспеpсией. Ускоpение точки измeняется скaчкообразно, вeроятность изменeния ускорeния точки в интервалe мeжду измерeниями Р, многократныe измeнeния ускорeния мeжду измерeниями исключeны. Трeбуется найти оцeнку мгновeнного ускорeния тoчки, обeспeчивающую минимaльную срeднeквадратическую oшибку.

[Stanislav]

Имеетcя диcкретная поcледовательность измерений кooрдинат движущейcя тoчки. Ошибки измеpений ноpмальные с известнoй диспеpсией. Ускоpение точки измeняется скaчкообразно, вeроятность изменeния ускорeния точки в интервалe мeжду измерeниями Р, многократныe измeнeния ускорeния мeжду измерeниями исключeны. Трeбуется найти оцeнку мгновeнного ускорeния тoчки, обeспeчивающую минимaльную срeднeквадратическую oшибку.

Что-то непонятно, в чём, собссно, проблемма...
Навскидку: аппроксимируйте последовательность координат каким-либо полиномом оптимально в смысле СКО, а потом возьмите производную два раза.
Возможно, лучшим решением будет сплайн-интерполяция (точнее, аппроксимация) перекрывающихся подпоследовательностей небольшой длины. Сплайны нужно брать невысокого порядка (2-го - 3-го, например).
Вообще, неплохо бы парочку реализаций процесса выложить...
И ещё. Задачи нужно ставить грамотно, нормальным техническим языком. Написанного Вами явно недостаточно, чтобы получить какой-либо дельный совет.

Сообщение отредактировал Stanislav - Sep 4 2007, 19:20

[Oldring]

Имеетcя диcкретная поcледовательность измерений кooрдинат движущейcя тoчки. Ошибки измеpений ноpмальные с известнoй диспеpсией. Ускоpение точки измeняется скaчкообразно, вeроятность изменeния ускорeния точки в интервалe мeжду измерeниями Р, многократныe измeнeния ускорeния мeжду измерeниями исключeны. Трeбуется найти оцeнку мгновeнного ускорeния тoчки, обeспeчивающую минимaльную срeднeквадратическую oшибку.

Для каждой возможной последовательности интервалов с переходами находим по критерию максимального правдоподобия оптимальные значения неслучайных параметров - положение перехода внутри интервала и величину скачка ускорения. В случае возникновения неоднозначности в выборе параметров (несколько наборов параметров приводят в одинаковому максимальному значению функции правдоподобия) выбираем значения среди возможных оптимальных значений произвольным образом.

После этого выбираем нужную последовательность интервалов с переходами также по критерию максимумального правдоподобия - умножая вероятность гипотезы на вероятность отклонения внутри гипотезы.

С точки зрения чистой теории все чисто. С практической точки зрения также все реализуемо, если P гораздо меньше единицы. Если же P велико - задача все равно становится нехорошей.

[Stanislav]

Для каждой возможной последовательности интервалов с переходами находим по критерию максимального правдоподобия оптимальные значения неслучайных параметров - положение перехода внутри интервала и величину скачка ускорения. В случае возникновения неоднозначности в выборе параметров (несколько наборов параметров приводят в одинаковому максимальному значению функции правдоподобия) выбираем значения среди возможных оптимальных значений произвольным образом...

Простите, а как Вы догадались, что именно нужно автору? Из того, что он привёл, никакого "хорошего" решения не просматривается - слишком мало априорных данных.

...С точки зрения чистой теории все чисто. С практической точки зрения также все реализуемо, если P гораздо меньше единицы. Если же P велико - задача все равно становится нехорошей.

А что есть P?

[Oldring]

Простите, а как Вы догадались, что именно нужно автору? Из того, что он привёл, никакого "хорошего" решения не просматривается - слишком мало априорных данных.
А что есть P?

Я сначала внимательно прочитал вопрос студента. Потом немного подумал.
Что есть P - описано именно в исходном вопросе

[Tanya]

Имеетcя диcкретная поcледовательность измерений кooрдинат движущейcя тoчки. Ошибки измеpений ноpмальные с известнoй диспеpсией. Ускоpение точки измeняется скaчкообразно, вeроятность изменeния ускорeния точки в интервалe мeжду измерeниями Р, многократныe измeнeния ускорeния мeжду измерeниями исключeны. Трeбуется найти оцeнку мгновeнного ускорeния тoчки, обeспeчивающую минимaльную срeднeквадратическую oшибку.

Другими словами примерно то, что написал Oldring.
Берем первые три точки - можно вычислить ускорение...
Смещаемся на одну точку - опять вычисляем....
И так далее...
Ускорение будет меняться в каждой точке... Кривая будет проходить точно через все точки.... P=1.
А вот если бы мы имели штрафную функцию за отклонение от P, которую должно сложить с квадратами отклонений положения, то дальше можно было бы минимизировать....
Кажется мне, что, если точек много, а P не близка к 1 или 0, то задача в общем случае будет плохо определенной...

[sensor_ua]

Можно пойти по граничным условиям - взять, например, 2 варианта - отклонение ускорения всегда положительно и отклонение всегда отрицательно. Соответственно получим 2 равноудаляющиеся кривые, т.е. можем сказать, что имеем множество значений. Если представить полученную фигуру для количества отсчётов n, то посчитав её площадь, можем для прямоугольника соотвествующей площади с длиной n найти высоту, а наше искомое будет половина от этой высоты.

[Dr_Crazy]

В целом я коллегами согласен, однако есть ряд вопросов по
постановке задачи.

1. Движущаяся точка материальна или нет - если материальна то должна обладать массой,
и соответственно конечной величиной кинетической энергии и конечной мощностью.

2. Ускорение это вектор -соответственно надо рассматривать проекции ускорения на базисные координаты.

3. Что такое вероятность Р - если предположить что все события равновероятны - и Р есть вероятность того что ускорение будет или 0.0000001 или 10000000.
- мне кажется в предположении того что мощность движущейся точки конечна это предположение достаточно сильно.

4.Функция распределения плотности вероятности наверно будет более адекватно описывать картину движения, т.е. вероятность того что ускорение будет равно 1g равна 0.1%, 0.5g -15%, 0.2g-70%, 0.07g -2% т.д.

5.Эта функция в общем случае не будет является нормальным распределением.


Выскажу крамольную мысль ...

На мой взгляд в этом же общем случае понятие ускорения, ее первой производной, и т.д. не совсем корректно. Как пример - свободное падение листа бумаги с балкона. Уравнение движения описывается дифуром --с одной стороны ускорение свободного падения, с другой - торможение листа за счет воздушной среды которое еще и меняется как из-за изменения углов ориентации листа бумаги, так из-за изменения его формы (он же гибкий) - попробуйте предсказать его координаты имея только информацию о движении ц.м.
Мне кажется что аппроксимации траектории движения полиномиальным рядом будет давать ошибку в определении координаты, скажем возможен случай что ускорение не меняется, 1-я производная ускорения тоже а вот 2 -я производная велика и в этом случае ошибка аппроксимации траектории движения полиномиальным рядом растет как х в четвертой степени.

7. Возможным решением общей задачи траекторных измерений , на мой взгляд, являлась бы аппроксимация функции траектории движения другим базисом ортогональных функций, и соответственно более полное использование информации о предистории движения точки.