Условие задачи:
Имеется полезный сигнал в виде дискретной числовой последовательности
V₁, V₂, V₃, ..., V_n
из n элементов, которую мне приятнее называть вектором, но кому-то, возможно, будет приятнее воспринимать ее как равнопериодическую последовательность отсчетов АЦП, закладываемых в массив.

Эффект эха состоит из прибавления к полезному сигналу его самого, умноженного на некий ослабляющий коэффициент k и сдвинутого на несколько позиций вправо. Величина этого сдвига заранее известна и определять ее не надо! Скажем, пусть этот сдвиг равен двум.

Тогда измеряемая (известная) последовательность P, состоящая из смеси полезного сигнала с его эхом, будет выглядеть так:

V₁, V₂, V₃+kV₁, V₄+kV₂, V₅+kV₃, ... , V_i+kV_i-2, ... , V_n+kV_n-2, kV_n-1, kV_n

т.е. первые два элемента получаются чистыми, а начиная с третьего элемента начнет помешиваться ослабленный сигнал из прошлого. В самом же конце, когда сигнал закончится, еще дважды прозвучит чистое эхо. Итого в этой последовательности n+2 элемента, и все они известны, поскольку измеряемы.

Вопрос:
Возможно ли из известной последовательности P, представляющей собой сумму полезного сигнала с его эхом, выделить полезный сигнал в чистом виде? При этом коэффициент ослабления k тоже неизвестен. Решение подразумевается в смысле наименьших квадратов, поскольку достаточно очевидно, что задача переопределена.

Решаема ли такая задача в принципе? С карандашом и бумагой она легко решается для n=3, чуть потяжелее для n=4, и совсем непонятно как при n=5. Имеет ли эта задача решение хотя бы для n=10, а лучше при любом n? И если да, то как ее решать?

По крайней мере, к линейной матричной задаче мне ее свести не удалось, т.к. из-за неизвестности коэффициента ослабления k неизвестные не удается отделить от постоянных коэффициентов. Вот и вынуждена обратиться к коллективному разуму за помощью.

Приведу идею. Возможно, она некорректны,т.к. я только окунаюсь в специальность.
Если Вам известна форма сигнала (аналитическое выражение), то может попробовать по первым отсчетам сигнала (не содержащим эха) при помощи некого подобия системы автоматического регулирования (есть же АРУ, ВАРУ, БАРУ..) смасштабировать входной сигнал. Тогда Вы узнаете реальный масштаб величины отсчетов V1, V2 ... Зная формулу, сможете подставить этот масштаб величины и рассчитать весь сигнал. И из смеси вычесть расчетные значения и получить только эхо. и тогда определить К. ну, а потом уже сам сигнал выделить.
В данном случае чем больше сдвиг, тем лучше для АРУ (успеет подстроиться)

хммм, чем обычный эквалайзер не подходит ?

Когда-то давно встречал реализации компенсаторов эхо для процессоров от Anаlоg Dеviсe. Там что-то и про теорию было, точнее сказать не могу: давно было

Импульсная характеристика эхоподавляющего фильтра состоит из 2 импульсов: высотой единица в нуле и минус K в точке тау, где тау - время задержки эха. Параметры K и тау определяют, пропуская тестовый сигнал через канал связи. Чем больше отсчетов, тем меньше их (в относительном исчислении) уйдет в утиль на переходных процессах.

Форма сигнала заранее неизвестна. Иначе задача была тривиальна, и не пришлось бы огород городить.



Не АРУ, ни эквалайзер не подходят, т.к. задача поставлена, как чисто математическая (в крайнем случае вычислительная), но не электрическая. И испытать систему дельта-функцией или какими-то другими тестовыми формами сигнала я тоже не могу - здесь исходные данные зафиксированы жестко, а сама система, производящая эту цифирь, физически недоступна. Вроде того, что сигнал уже с эхом прилетает к нам из далекого космоса.


Как я уже упомянула выше, пропустить тестовый сигнал через данный канал связи я не в силах. Будь иначе, то задача решалась бы много проще посредством выявления у системы переходной функции. Кроме того, это не "канал связи" порождает эхо, а эхо возникает внутри самого излучателя сигнала, будучи производимым чем-то вроде внутреннего отражателя, сопутствующего природе излучателя.

Но эхоподавляющий фильтр из 2-х импульсов - совершенно замечательная идея! Спасибо!
Действительно, эхо в моем случае можно рассматривать как свёртку полезного сигнала с функцией, состоящей из двух "палочек": y(-2)=k и y(0)=1. А клин, как говорится, вышибают клином. Ваш фильтр - свертка-наоборот. Вот только я никак в толк не возьму, если была произведена свёртка двух функций, то будет ли такой фильтр "развёрткой"? Но сама идея мне очень понравилась.

дык эквалайзеру и не нужно что либо другое.
Берем эквалайзер и пропускаем сигнал + эхо через него, на выходе мы знаем что должно быть. обучаем эквалайзер или рассчитываем его коэффициент по набору измерений (вычислительная задача). В любом учебнике по эквалайзеру схемы эхоподавителей приведены

Обратная свертка (как и прямая) рассчитывается по минимуму квадратов невязки переопределенной системы ваших линейных уравнений. В результате получаются матричное"нормальное уравнение". Или если совсем не хочется разбираться, то в общем виде, находите и запускаете в матлабе процедуру псевдоинверсии (Мура-Пенроуза) по своим данным с коэффициентами импульсной характеристики, как неизвестными (Если коэффициент точно только один с известной задержкой, то "нормальное уравнение" вообще скалярно и его решение можно записать в явном виде аналитически. Там будет для прямой свертки что-то типа
k=(Y*DX)/(X*X), где Х - входной сигнал (вектор), Y-выходной(вектор), D - оператор задержки на известное тау (=2). Обратную свертку тоже можно приблизительно получить псевдоинверсией, но там уже будет много членов импульсной характеристики у FIR.
Вообще-то в вашем случае импульсов два, но один - это известная единица без сдвига, которую можно просто тупо исключить из задачи вычитанием сразу. Т.е. k=((Y-X)*DX)/(X*X)
Кстати, если бы неизвестных импульсов было бы два, то решение тоже бы можно было бы записать в явном виде, просто потому, что решение
системы уравнений 2х2 тоже легко записывается в явном виде а вот 3 х 3 уже не легко, а 4х4 уже вообще лучше не записывать, а нужно решать вычислительно
).

Именно эту задачу решают в общем виде все эхоподавители или эквалайзеры. Но они её решают обычно адаптивно с помощью адаптивной фильтрации. Можно адаптивной фильтрацией решить и математическую задачу, но для неё это лишнее, поскольку адаптация достаточно медленный процесс, следовательно за последовательностью нужно наблюдать слишком долго. По очень короткой последовательности и в технике используют не адаптивную фильтрацию, а решение нормальных уравнений

Я не такой образованный и умный как fontp, но, думаю вижу как это можно решить "в лоб" ...




...тогда мостовая(компенсирующая) схема включения с моделью и даже не оптимизация(генетические там или градиентные алгоритмы) - полуслепой поиск модели, одномерный подбор k. По-сути Вам то нужно подобрать один единственный коэффициент - задержка то задана.