Уважаемые коллеги!
В своём учебнике Гоноровский для обратного преобразования Фурье формула 2.49 (отсканированная страница в приложении) утверждает что интегрирование происходит по оси омега. Далее на странице 56 утверждается, что интегрирование идёт по действительной оси омега в то время как в подинтегральном выражении экспонента в степени i омега t. Т.е. мнимая. Мне понятно представление комплексного числа в показательной форме. здесь не привожу можно посмотреть в любом учебнике или википедии. Есть представление в алгебраической и тригонометрической формах. И здесь вроде бы как понятно. Вопрос а где же эта ось омега как себе её представить для показательной формы? Где мнимая ось омега? Разумеется речь идёт для показательной формы.
Заранее спасибо за ответ.
С уважением Алексей.





Это уточнение. Вопрос так пока и остаётся.

Так авторы просто сокращают себе писанину придумав показательную форму.
А начав реально решать такой интеграл всегда приведут эту форму к алгебраической.
И сразу станет ясно, что речь идет о двух интегралах по действительной оси омега.
Просто перед одним интегралом будет стоять j.

Мне долгое время мешало непонимание следующей связи.
Фурье преобразование работает для двумерных векторов. Двумерный вектор можно представить двумя числами. В декартовых координатах или в полярных.
Комплексные числа обладают абсолютно теми же свойствами, что и двумерные вектора, поэтому мощный аппарат теории функций комплексных переменных и применяют для работы с двумерными векторами. В Фурье преобразовании все реальное, а мнимая составляющая это просто вторая проекция двумерного вектора.

Прямое преобразование Фурье производит интегрирование по времени, а обратное по частоте.

То над чем производится прямое преобразование находится во временной области, а обратное над находящимся в частотной области.

Таким образом прямое преобразование преобразует временную последовательность в частотную, а обратное наоборот.

Ну как это теми же свойствами.
Если умножить две мнимые единицы, то получится реальная. Т.е. вектор на перпендикулярной оси по отношению к мнимой. Как их принято рисовать.
А если два обычных двумерных вектора умножить векторно или скалярно, то получится либо число либо вектор вообще в другой плоскости.

И что такое "проекция" в данном контексте? Где-то здесь идет речь о геометрии?

Вот такое легкомысленное словоблудие и порождает тонны учебников по которым невозможно учиться.
Не в обиду будет сказано.

В общем случае комплексная функция f(z) = u(x,y) + i*v(x,y) от комплексного аргумента это отображение 2х чисел (x,y) на 2 числа (u,v). Интегрирование определяется в вдоль любой кривой в плоскости аргумента z как: Int f(z) dz = Int( u dx - v dy )+ i*Int( v dx + u dy). Как представить наглядно такой интеграл - не знаю, но он обладает практически всеми свойствами "обычных" интегралов.

В приведенном в Гоноровском выражении для s(t) под интегралом стоит комплексная функция действительного аргумента w, интегрирование ведется вдоль действительной оси w, а интеграл распадается на два: для действительной и мнимой частей. То есть, представлять особенно нечего - две действительные функции от аргумента w.

А вот Re перед интегралом не помешал бы, а то s(t) вроде как комплексной может оказаться.

Спасибо, за указание на ошибку.