Интересует процесс обновление внутреннего firmware, что для этого требуется, где брать свежие прошивки.

Требуется подключение к компу по USB или интерфейс с SD картой.
Программа прошивальщик и прошивка.

Первое делаем по документации, за вторым обращаемся по месту покупки модуля.
Если покупали у официалов, то без проблем, если у перекупщиков, то... Хм....

Текущую версию смотрим AT+SIMCOMATI

Последняя существующая - 1575B12SIM5320E

Покупали в Гамме, так что Хм... тут безосновательно))
Программа на компе под какую ОС ? Кому писать насчет прошивки?

Программа под виндовс. Настоятельно рекомендуется XP - под вистами и прочим были случаи превращения модуля в "кирпич"

Писать мне chip (гав-гав) microchip.ua - в письме пожалуйста укажите на кого покупался модуль и его ИМЕИ или номер счета.
Дам ссылку на драйвера, прошивальщик и прошивку.

Написал.

Выложил, ссылка почтой.