Имеется несколько штук ATtiny13a. Могу ли я сделать на нём нормальный частотомер, если учесть, что кварцевый резонатор к этой модели не подключить? (внутренний RC до 9,6 МГц)

Подавать опорный тактовый сигнал на доступную ножку GPIO и программно обрабатывать этот сигнал и собственно входной сигнал. Для небольших частот (килогерц 10, или около того, сходу прикинуть трудно) должно работать.
Еще вариант: если в этом МК есть таймер с Capture - режимом, можно затактировать его от эталонного генератора и попытаться решить вашу проблему этим путем.
Но я бы, все же, взял тот же ATTiny2313, допускающий подключение кварца или образцового генератора.

Нормальный частотомер, с опорным на RC, не получиться. Хотя, не известно, что ТС считает нормальным частотомером.
Какую точность предполагается получить, максимальная частота? Если что-то похожее на частотомер, то запросто.

"Нормальный" это какой? Точность 2% устроит? Да еще и притом, чтобы каждый экземпляр устройства калибровать вручную? А если не калибровать, то только 10%. И то лишь при том условии, что напряжение питания и температура чипа будут строго стабилизированы. Вот на этот счет выписка из даташита на ATtiny13A:

А ещё можно зацепить внешний тактовый сигнал (до 20 МГц) на вход CLKI и разрешить его использование фьюзами. Безо всяких там "Подавать опорный тактовый сигнал на доступную ножку GPIO и программно обрабатывать этот сигнал"

Вас понял, спасибо.
Думаю, что в таком случае для хорошего прибора мне лучше будет взять модель с подключаемым резонатором - так возиться меньше.