Здравствуйте!

Пусть есть кристаллы нескольких типов, известного кол-ва
Каждый тип характеризуется модулем упругости, геометр формой и размерами, плотностью, взаимным трением
В рамках одного типа все кристаллы одинаковы

Пусть даже это кристаллы одного типа

Все это дело засыпали в абсолютно жесткую бадью правильной формы, допустим сферической
Нужно найти насыпную плотность но исходя из теор соображений

Не знает ли кто теории по данному вопросу

Теорий не знаю, но из практических соображений задача не имеет решения. Например, если ссыпать в мешок детские кубики, то они не примут форму плотнейшей упаковки, хотя теоретически и могли. Тому же может быть свидетельством и то, что с помощью вибрации упаковку можно впоследствии уплотнить. Это касается не только насыпных стройматериалов, но и сахарного песка и круп, которые хранятся у меня на кухне . Если содержимое пакета полностью не помещается в банку, то постукиваешь по ее краю, наблюдая, как в банке сверху появляется пустое место, и подсыпаешь в нее еще. Аналогичное явление имеет место при упаковке чемодана .

Мне нужен скорее математический аппарат, который рассматривал бы процесс уплотнения
на разных уровнях
от локального до всего мешка

Ну или в принципе подошел бы мат аппарат разрушения какого либо материала в котором задействованы цепи Маркова
К сожалению в материалах я не спец

Мне нужно найти модель где диссипация энергии распределяется по иерархии каких-то доменов
а домены определяются взаимными связями элементов
тут есть аналогии между разрушением и упаковкой
Все стремяться к минимуму потенциальной энергии, но этот кубик не может встать на место потому что мешает вот тот
а тот потому что этот и есть некий порог энергии выше которого эта система прийдет в движение и перестроиться в новую конфигурацию

Думаю и разрушение происходит каким-то таким образом

Ксения, а вы не замечали, что если уплотнять таким же способом банку, в которую насыпаны разных размеров винтики, гаечки и проч. крепеж, то в конце концов самые мелкие детальки всегда оказываются на дне, а самые крупные - на поверхности ?

Раз так, то послушайте более научный вариант ответа . Есть такие "задачи молекулярной динамики". Это задачи того рода, какую 3D-форму в пространстве примет одна или несколько молекул, предоставленных сами себе. Химию глубоко знать тут нет необходимости, т.к. задача сводится чисто к геометрии, поскольку скелет молекулы способен вращаться вкруголя на каждом своем позвонке. Эта задача не имела бы смысла из-за бесконечного числа решений, если бы не то обстоятельство, что части молекулы липнут друг к другу, когда близко сближаются (это работают силы электростатики между по-разному заряженными атомами, из которых та молекула состоит). Если молекул взять две или больше, то по тем же причинам они могут слипаться еще и друг с другом, а не только самими с собой. В этом случае задача начинает все больше походить на вашу. Особенно, если внутреннее слипание запретить, а разрешить только межмолекулярные контакты.

У меня на ftp лежит программа для такого рода молекулярного моделирования
/pub/MODELING/HyperChem.v8.04-ZWT
поэтому я и в курсе этой проблематики.

Расчет можно начать с любой конфигурации, но обычно предпочитают близкую к линейной. После чего ее "отпускают", позволяя всем атомам не просто притягиваться друг к другу, но и изгибать скелет, строго следя за тем, чтобы он сгибался строго по правилам - ни в любом месте, а только вращаясь по "шарнирам". Т.е. проводятся итерации с шагами, когда действующие силы двигают материальные объекты (т.е. по механике Ньютона - сила вызывает ускорение). Через какое-то время, измеряемое числом шагов (а эти шаги компьютер делает тем быстрее, чем меньше размер молекулы, т.к. тогда ему меньше считать), где-то в одном месте произойдет слипание, тем не менее, расчет продолжают дальше, пока суммарная энергия не перестанет уменьшаться. Здесь расчетная энергия падает по мере того, как электрически заряженные группы сближаются в пространстве. Т.е. происходит именно так, как вы сами предположили.

Самая большая проблема молекулярной динамики не в том, как это считать (т.к. считают компьютеры, а их не жалко), а в том, что таких конформаций (т.е. устойчивых состояний, к которым итерации сходятся) может существовать очень много. Тогда как мы находим лишь ту, куда итерационной процесс угораздило скатиться. Если бы это был двумерный случай, то график потенциальной энергии были бы похож на ямы на картофельном поле, на котором только что выкопали всю картошку лопатами. Т.е. итерационный процесс, заточенный на поиск минимума энергии, попросту сваливается в первую же попавшуюся на его пути ямку, и выбраться из него самостоятельно не может, поскольку итерационный процесс идет лишь на понижение энергии. Это в вашей задачей эквивалентно тому, что засыпанные в бадью кристаллы принимают не самую плотную упаковку, а первую же, которая оказалась устойчивой (когда нижние ряды удерживают вес верхних, не деформируясь).

Так вот в молекулярной динамике с этим явлением борются так. Вводят понятие о температуре, которая представляет в этой модели колебательные движения скелета, когда он ходит ходуном. Т.е. добавляя температуру, достигают того, что вся конструкция начинает настолько сильно дрожать и вертеться, что при достаточно высокой температуре вполне могут порваться места, где ранее произошло слипание. Ведь сила слипания тоже энергетического плана, эквивалентная уменьшению энергии группировок в состыкованном состоянии. Но как только мы посредством повышения температуры добавим в систему энергию, превышающую энергию связи, то связь распадется.

Т.е. чаще всего температуру повышают настолько, чтобы более слабые связи распались (у них энергия ниже), а более сильные сохранились. А потом очень медленно остужают все это варево, позволяя образовываться липким связям в порядке уменьшения их энергии. В вашем случае это эквивалентно тому, что бадью со всем ее содержимым поставили на ультразвуковой вибратор такой мощности, чтобы содержимое бадьи "кипело". А потом медленно понижают мощность излучателя вплоть до нуля. Такая методика дает все основания надеяться, что упаковка получится близкой к наиболее плотной.

Как вы, должно быть, заметили, применяемые здесь методы исключительно численные, поскольку вывести какую-то формулу для решения этой задачи невозможно.

Гложет меня обоснованное сомнение, что вы безбожно путаете и упрощаете. Задачи, которые решают методом мол.динамики это статистические задачи, где молекулы абстрагируются шариками, а силы каким-нибудь потенциалом Леннарда-Джонса.

Задачи на конфигурацию и деформации с шариками работать не могут, конфигурация молекулы в основном состоянии определяется ковалентными связями (и не только, если есть, например водородные связи), кроме того, взаимодействие между частями молекулы и между разными молекулами определяется целой гамммой ван-дер-ваальсовых и дисперсионных (лондоновских) сил, диполь-дипольных (мгновенный диполь с наведённым и/или с постоянным диполем, постоянные диполи друг с другом, мгновенные диполи), и ион-дипольных взаимодействий - в растворах например. Дисперсионные силы не имеют классического аналога. Это уж никак не молекулярная динамика.

Более плотная жидкость стекает вниз. Металлическая гайка в сахаре утонет, а кусок рафинада всплывёт - как камешек и деревяшка. Плотности разные.

Это зыбучие пески.... Вот маленький список литературы
http://ru.wikipedia.org/wiki/Динамика_сыпучих_сред
http://ru.wikipedia.org/wiki/Сыпучее_тело
http://ru.wikipedia.org/wiki/Зыбучий_песок
В банке с гайками человек не утонет. Это радует...

Сталкивался с обсуждаемой задачей. В молекулярной механике шариками моделируются атомы, а молекула - это конструкция из шариков обтянутая упругой пленкой. Нужно было найти объем такой конструкции, чтобы посчитать работу по образованию полости в растворителе. Дальше можно найти плотность упаковки для кластера связанных молекул. Обе части задачи уходят в дифуры в частных производных, простых решений не имеют. А могут и сложных решений не иметь. :0)


Насколько я понимаю, такая задача на сегодня решается только перебором.

Вот одномерный аналог. Есть набор реек заданных длин L1,L2,L3, нужно найти вариант оптимального распила (минимум отходов) на фрагменты заданных длин 3 штуки l1, 2 штуки l2, 10 штук l3. - Решается только перебором.

PS: Дисперсионные силы это взаимодействие осциллирующих диполей:+,- колеблются в противофазе и в среднем, приводит к притяжению - вполне наглядное механистическое объяснение.

Я безбожно упрощаю. Не хочется пугать электронщика конформационной химией , тем более что передо мной стояла задача лишь продемонстрировать сам принцип, как можно меньше вникая в детали, поскольку объект у автора темы совершенно иной.


Несомненно, задачи молекулярной динамики сильно заточены под свойства молекул, которыми объекты автора темы заведомо не обладают, но упрощать задачу, которая уже имеет программную реализацию, несравненно проще, нежели пытаться добавить к чужой программе новые функции.

Чтобы исключить деформацию молекулы, достаточно придать ей жесткий каркас. Например, объект кубической формы можно собрать из атомов углерода, наподобие реально существующих молекул фуллерена/букибола (правильный многогранник). Более того - чтобы не возиться с расстановкой двойных связей, распихивая лишние валентности, можно собрать куб из атомов ... алюминия, который уже трехвалентный. И как бы чудовищно ни были напряжены связи в такой молекуле, программа молекулярной динамики не посмеет ее разрушить, т.к. разрывать межатомные связи ей запрещено (точнее - она этого делать не умеет). Поэтому можно тупо собирать геометрические многогранники из одинаковых атомов той валентности, сколько ребер сходится на вершине. Максимум - 6 ребер на вершину потянет сера, но это скорее излишество, поскольку такой случай среди многогранников встречается редко (я даже не слышала, что такие бывают).

В этом случае весь список сил, которые вы упомянули (ван-дер-ваальсовы, дисперсионные, диполь-дипольные, ион-дипольные и пр.), если они и учитываются моделью, то складываются в какую-то одну равнодействующую силу. А дипольных сил, возможно, и вовсе не будет из-за предельно высокой симметрии и однородности атомного состава. И, поскольку, такая структура предельно проста для компьютерного расчета, то возможно он потянет десятки, а то и сотни таких молекул. Короче говоря, в задаче на укладку требуется лишь способность молекул худо-бедно притягиваться друг другу, тогда как физическая природа силы притяжения нам пофигу.


Это ваше замечание совершенно неуместно, поскольку силы земного притяжения в молекулярной модели отсутствуют, и потому верха и низа здесь нет. Здесь упаковка идет за счет взаимного притяжения частиц, а вовсе не под действием силы тяжести, когда верхние слои давят своим весом на нижние. Так что можно совершенно не беспокоиться о том, что что-то всплывет на поверхность или опустится на дно.


Я чуть ранее объяснила вам, как следует собирать многогранники из атомов. Это предельно просто, поскольку криво собранной конструкции программа немедленно придаст правильную геометрическую форму, выравнивая напряжения во внутренних связях, а их равенство изначально определено симметрией. Поэтому при задании координат, атомы можно располагать на экране где-угодно, лишь бы все валентные связи между ними были указаны без ошибок. А сожмется она в симметричную компактную форму сама на первой же итерации.


Правильнее это называть итерациями, а не перебором, т.к. полной перебор всевозможных вариантов взаимного расположения был бы здесь неоправданно долог.

Нет, именно перебором. Решается средствами пролога или аналогичными языками. Вам не удастся построить функцию, отражающую аналитически критерий оптимизации, по которому можно будет организовать спуск в направлении градиента.

В задачах такого типа градиент - плохой поводырь, т.к. он увлекает в первую же колдобину на "картофельном поле". Поэтому на практике обычно применяют температурный разогрев, когда искусственное "землетрясение" достигает той силы, когда при следующей итерации наш "шарик" может перескочить из менее глубокой ямки в более глубокую. А альтернативой этому методу является повторный расчет после замена стартовой позиции (исходной конфигурации). Чаще всего, такие исходные конфигурации генерируют случайным образом.

После нескольких расчетов с разных стартовых позиций (каждый из которых, следуя за градиентом, сошелся к минимуму энергии) проверяют, к одной конфигурации все они сошлась или к разным. Если к одной, что есть основания предположить, что на "картофельном поле" есть одна глубокая яма, а других нет. Но если оказывается, что таких конечных конфигураций несколько, то выбирают среди них ту, у которой на дне энергия ниже.

В определенном смысле вышеописанную процедуру действительно можно назвать перебором, однако замечу, что температурный разогрев в значительной мере обладает теми же свойствами, поскольку при высокой температуре наш шарик скачет по всему полю, как угорелый. При этом преимущество температурного разогрева состоит в том, что его можно дозировать, т.е. вызвать землетрясение такой интенсивности, что из мелких ямок шарик выскочит, а в глубоких удержится.

Вот ключевая фраза в моем ответе: "вам не удастся построить функцию, отражающую аналитически критерий оптимизации".
То есть, нет у Вас "картофельного поля" по которому можно скакать разными алгоритмами в поисках экстремумов. По крайней мере, нам когда-то не удалось решить задачу оптимизации "распила реек", приходилось перебирать все возможные варианты.