Как связать математику и жизнь, а именно линейную алгебру.

Предположим есть простая школьная задача

Известно
1 час со скоростью Х и 2 часа со скоростью У прошел 50 км
3 часа со скоростью Х и 4 часа со скоростью У прошел 120км
Требуется найти скорости Х и У

Теперь есть желание описать условие и решение этой задачи через разные понятия линейной алгебры.

Из условия задачи естественным способом вытекает математическая запись в виде системы линейных уравнений

1*Х+2*У=50
3*Х+4*У=120

С другой стороны также известно, что линейную комбинацию векторов можно записать в виде системы уравнений, и соответственно логично, что линейную систему можно интерпретировать как линейную комбинацию неких векторов. Оставаясь на абстрактном уровне математики связка линейная комбинация - линейная система понятны. Но как исходную формулировку, которая изначально относится к описанию задачи языком системой линейных уравнений можно описать уже тем языком, который задачу описывает через линейную комбинацию векторов, и опираясь не на некую абстрактную математику, а опять же что-то на исходную физическую интерпретацию, когда в качестве описания задачи мы используем скорости, расстояния. На первый взгляд получается какая-то тарабращина – мы складываем два вектора, координаты которых измеряются часами и вдруг в этой же системе координат получаем вектор, который уже описывается другой системой координат – расстоянием. Абстрактно сложить два вектора и получить третий понятно, при этом при абстрактном подходе не возникает вопроса про изменение размерности системы координат, а при рассмотрении конкретной простой школьной задачи получается непонятная подмена, трансформация.

Х*[1 3]'+ У*[2 4]'=[50 120]' линейная комбинация векторов

Вектор с координатами один час и три часа складываем с вектором с координатами 2 и 4 часа и получаем вектор с координатами 50 и 120 км.

То есть, как не теряя исходную физическую интерпретацию одну и ту же задачу непротиворечиво описать
и системой уравнений и линейной комбинацией векторов?

Для начало нужно отличать "векторные" и "не векторные величины".
Яблоки, как и длина пути - это не векторные величины. Зачем их складывать как вектора? В надежде на что?
Сложите модули и получите правильный ответ. И помните, что базис у вас в общем случае не нормированный.

Для начала, сдать линейную алгебру на отлично

Для озвученной в качестве примера система правильная?
1*Х+2*У=50
3*Х+4*У=120

Если система составлена правильно, то мы имеем право представить ее альтернативным тождественным способом в виде
Х*[1 3]'+ У*[2 4]'=[50 120]' ?

Если имеем право так представить, то математически записав задачу в таком виде как ее можно можно озвучить с учетом именно этой формы записи?

Если в случае row звучит понятно (общий путь равен сумме двух путей с разными скоростями ), то в случае column получается, что складываем некий вектор [1 3]' и вектор [2 4]'. Если вектор скорости, силы понятно что, то что могут означать эти вектора, чьи координаты в данном случае просто время?

Аналогично эту же задачу (исходную систему) можно описать в виде (матрица на вектор)

1 2 Х 50
3 4 У 120

что в итоге говорит о том, что dot произведение векторов [1 2] и [х у] равно 50 и [3 4] и [х у] равно 120, то есть находим угол между некими векторами, которые сформированы из времени и векторами из скорости. Как в этом случае будет звучать исходная задача? Когда в качестве матрицы у нас отсчеты комплексной экспоненты, а в качестве вектора отсчеты сигнала, то физика процесса вроде бы понятна - находим проекции входного сигнала на вектора, базис, представленный в матрице, то есть раскладываем сигнал в том или ином базисе (или просто в неком наборе векторов). А здесь находим проекцию вектора скорости на вектор времени?, что-то не то, а как то - не понимаю.

В целом и общем речь не идет о скорости, времени, расстоянии, просто выбрано в качестве некого простого примера, на котором можно было бы посмотреть, что несмотря на то, что исходная задача может быть представлена в различной форме, при этом физическая, логическая сущность задачи не меняется.

Вы можете представить свою систему линейных уравнений в матричной форме и там же в матрицах ее решить.
Но вектора здесь ни при чем. Когда Вы говорите о векторах, то каждой колонке соответствует вектор направления.
Какое у Вас направление движения для колонки X? А для колонки Y?
У Вас движение идет всегда в одном направлении, значит вектора в Вашем случае не работают.
А вот если Вас буквы X и Y наталкивают на мысль что тут есть связи с векторами, тогда замените их на буквы m и t.
И не парьтесь.
Или начинайте работать с векторами честно. То есть Ваш объект двигался со скоростью 50 в направлении X такое то время,
затем он двигался со скоростью 100 в направлении Y такое то время. Надо определить направление и среднюю скорость
результата. И заметьте нельзя просто сложить скорости 50 и 100 без учета времени, либо надо их нормировать.
И тем более нельзя их складывать без учета направления.

А что такое матрица, это разве не есть набор векторов, или по крайне мере одна из тождественных интерпретаций содержимого матрицы?
Есть одна запись части задачи (первое уравнение), есть запись другой части задачи (другое уравнение). Есть некий мат аппарат в виде матриц, векторов. А на основании чего мы говорим, что суть нашей задачи такова, что ее можно описать языком матрицы? Только на основании того, что мы условие записали в неком виде, который в учебниках предлагают записать в виде матрицы, но совершенно не поясняя, что матричная сущность потому и потому то полностью соответствует духу нашей задачи?




Ну это как раз и не понимаю - с одной стороны пока никто не сказал, что я не имею права записать рассматриваемый пример в виде комбинации векторов (чисто по формальным признакам, как пишут в учебниках, что если есть система, то ее можно интерпретиовать и записать как комбинацию векторов), а с другой стороны на самом деле, что это за вектора получаются, что и куда направляют?, я не понимаю.



А что в предложенных мной записях нечестно? Для такой задачи не правильно составил систему линейных уравнений? Не правильно составленную систему записал в виде линейной комбинации векторов (которые правда не понимаю как интерпретировать)? И в результате неправильности не получится найти правильного ответа (скорость Х и скорость У в нашем случае)?

Записывать можно все что угодно - проблемы начнутся, когда попытаетесь отыскать смысл в записях.
Например, сколько будет "2 яблока" + "3 стула" = "5" (чего? яблок? стульев?).
Матаппарат - язык современной физики. Но процесс работы представляется так: физическое явление корректно переводится на язык математики ->
проводятся математические расчеты и анализ -> полученный результат получает физическую интерпретацию.
Почему у вас не получается в данном конкретном случае? Потому что у вас нет базиса. Точнее, Y у вас может быть выражен линейной комбинацией от X,
и задача становится одномерной. Когда начнете переводить скорость в расстояние не забывайте, что X (Y) я вас имеют не единичную длину.
После этого задачка упроститься, обретет физический смысл и потеряет обычный смысл.

PS. В примере про "яблоки и стулья". Если достоверно известно, что яблоки никто не есть, а на стульях никто не сидит, а все тут же монетизируют по прайсу: 10 руб за яблоко и 1000 руб за стул, то задачка чем-то начнет напоминать вашу и правильный ответ "3020 руб".

физическое явление корректно переводится на язык математики

Согласен, но в том то и фокус, как именно корректно перевести. Для этого надо понимать ключевую идею, заложенную в тот или иной аппарат, а вот с этим, по крайне мере в области линейной алгебры мне не всегда все ясно. Очень часто при рассмотрении того или иного вопроса авторы сперва как то описывают задачу «простыми» выражениями, потом говорят – а давайте теперь это запишем в векторном, матричном виде, потом из этой матрицы то выдергивают столбцы, то строки, что-то на их базе считают, начинают исследовать какие-то свойства шаманским способом полученной матрицы, находить проекции на какие то искусственно полученные вектора, которые непонятно что отражают в твоей исходной задаче и делать на основании этого какие-то выводы, решения. Или ситуации наоборот. Ты что-то решаешь, но тебе даже в страшном сне не приходит мысль, что это можно и даже удобно представить в виде матрицы, векторов и т.д.
Поэтому через некоторые простые примеры и пытаюсь разобраться.

Рассмотрим пример




В этом примере и один и другой вектор есть одна сущность – скорости, представление задачи в виде суммы двух векторов понятно. Есть два вектора, их можно сложить и получить третий вектор, опять же скорость. Если взять скалярное произведение этих векторов, то получим некое значение, которое будет говорить нам о том, что один вектор будет оказывать на итоговый результат действия другого вектора, то есть есть некая связь. Тоже логично и интерпретубельно. Но так же известно, что вектора можно умножать и векторно, когда на выходе не скаляр, а вектор. В данном примере что можно ожидать от векторного произведения, оно вообще допустимо? Если допустимо, то потенциально чем оно может быть полезно в данном случае?

Другой пример.




Это как раз ситуация, когда ну вообще не видится никаких предпосылок, чтоб задачу не то чтобы имеет смысл, удобно описать через вектора, а что вообще можно представить это через векторы и далее применять те или иные способы работы с векторами. Здесь один вектор получается точка в пространстве цена, другой вектор точка в пространстве количество. Чисто с формальной точки зрения, если я доверился тому, кто задачу представил векторами и для нахождения ответа применил скалярное произведение. Но если я вижу есть два вектора, то опять же чисто формально я говорю, что их можно сложить и получить третий вектор. Можно складывать эти вектора и если можно, то какую информацию будет нести получившийся суммарный вектор? А если эти вектора складывать низя (что вроде бы как разумно, так как их координаты имеют разные единицы измерений), то почему тогда их можно скалярно перемножать если каждый из них существует где-то в своем пространстве, которые непонятно как относительно друга ориентированы? И опять же, если можно их векторно перемножать, то какую информацию я могу ожидать получить через векторное умножение? И если в этом примере опять вернуться к скалярному умножению, то во всех учебниках тебя учат геометрической интерпретации скалярного умножения – дает представление об угловой ориентации исходных векторов. Но если в примере про скорости важность, сущность этого угла понятна, то в данном случае, что суммарный доход на самом деле есть какой-то угол совершенно не укладывается в голове.

У Вас исходная задача одномерная, Вы искуственно ввели двухмерное пространство описания и мучаетесь с его интерпретацией - зачем?