Вопрос в том, что я уже успокоился, что умею делать синусоиду с помощью ее спектра. Для этого я ставлю одну спектральную составляющую, другую ставлю зеркально ей и с комплексным сопряжением. Тогда комплексное число этой палочки и обозначает фазу и амплитуду синусоиды.

Но я понял, что только этого недостаточно. На половине частоты дискретизации фаза обнуляется. 1 вопрос - почему?
Второй вопрос, я в итоге получаю гармонику, фаза которой сбрасывается с пи до 0, вроде. То есть если было значение +1, то стало -1 при амплитуде 1 В.

Вопрос второй: как скомпенсировать это явление?

Господин Котельников обещал только строго меньше половины частоты дискретизации, далее восстановить сигнал невозможно. Соответственно, ответ на второй вопрос - увеличивайте частоту дискретизации хоть немного и оставляйте на месте верхнюю восстанавливаемую частоту.

Не совсем так. На частоте равной половине частоты дискретизации тоже можно видеть палку. Но только косинусную составляющую. Синусная всегда равна 0.