По документации на модуль DP1203-433 неясно, какую необходимо использовать антенну? Либо это отдельный какойто вибратор, либо это необходимо делать ввиде печатного проводника, либо этот печатный проводник есть на самом модуле, и делать ничего не надо?

У него 50-омный выход, соответственно использовать можно что угодно, лишь бы было более-менее согласовано.
Мы в своё время просто вместе с модулями купили штыревые антенны - размером с сигарету, с SMA разъёмом.

Четвертьволновой штырек можно применить, но длинноват получится на 433 для мобильного использования. Наверняка можно полученную длину провода (четверть волны) свернуть в спираль и настраивать её шаг или укорачивать пользуясь детектором поля, лучше - активным. При отсутствии такового, настроить антенну можно по потребляемому току на передаче добиваясь его максимального значения. Характерным эффектом будет влияние емкости руки, подносимой к антенне - ток меняется. Если растет, то надо увеличивать индуктивность спирали, если падает - уменьшать, не проскочив оптимум.

Нет, для радиоуправляемой модели будет нормально