Двоичный источник с равновероятными символами управляет положением коммутатора приёмника, работающего в канале с шумом AWGN(рисунок во вложении). Двухстроронняя спектральная плотность мощности шума равна N/2. Пусть передаются антиподные сигналы длительностью Т секунд с энаргией Е Дж. Системная схема синхронизации генерирует каждые Т секунд синхронизирующие импульсы, а скорость передачи двоичного источника равна 1/Т бит/с. При нормальной работе ключ находится в положении "вверх", когда двоичный нуль, и в положении "вниз", когда двоичная единица. Предположим, что ключ неисправен. С вероятностью р он переключается в неверном направлении на Т-секундный интервал. Наличие ошибки коммутации в течение каждого интервала не зависит от ошибки коммутации в любое другое время.
Считать, что E{z(t)}=+-sqrt(E) т.е. математическое ожидание выхода корреляционного приёмника равно плюс-минус квадратному корню из энергии бита.
а) запишите условные вероятности p(z/s1) и p(z/s2).
б) Корреляционный примник наблюдает сигнал r(t) в течение интервала (0,Т). Нарисуйте блочную
диаграмму оптимального приёмника для минимизации вероятности битовой ошибки, если известно,
что коммутатор сбоит с вероятностью р
в) какая система предпочтительнее: р=0,1 и E/N= бесконечность или р=0 и E/N=7дБ ?

Нажмите для просмотра прикрепленного файла


пункт (а) задачи я решил, рассуждая таким образом:
используя принцип максимального правдоподобия, мы можем выразить условную вероятность значений сигналов s1(t) и s2(t) на выходе корреляционного приёмника(согласованного фильтра) при прохождении этих сигналов через канал и воздействии на них шума AWGN:

p(z/s1)=(1/2*Pi*sqrt(б))*exp{(-1/2)*(z(T)-a1)/б^2}

p(z/s2)=(1/2*Pi*sqrt(б))*exp{(-1/2)*(z(T)-a2)/б^2}

Pi - число пи,равное 3,14; б - среднеквадратическое отклонение

В данном случае, используя терминологию теории вероятности, определим как событие В - это получение сигнала на выходе корреляционного сигнала при воздействии в канале шума AWGN. Сбой коммутатора при этом учитывать не будем. Тогда, естественно, условная вероятность на выходе корреляционного приёмника будет выражаться вышеприведёнными формулами.

Теперь рассмотрим коммутатор, который сбоит с вероятностью р. Если бы коммутатор не сбоил, то при выходе в канал, информационные символы s1(t) и s2(t) соответственно бы имели вероятность того, что информационный символ s1(t) соответсвтвует двоичной 1, а s2(t) соответствует двоичному 0 - р=1. Но по условию задачи мы имеем, что коммутатор сбоит с веоятностью р. Тогда, при наблюдении информационных символов при выходе с коммутатора в канал, мы уже не можем быть уверены на 100%, что при выходе s1(t), это действительно 1 двоичного источника, а при выходе s2(t), это действительно 0 двоичного источника. Теперь, при сбое коммутатора, мы можем сказать, что при выходе в канал s1(t), вероятность того, что это действительно 1 двоичного источника, будет (1-р), а при выходе в канал s2(t), вероятность того, что это действительно 0 двоичного источника, также будет
(1-р). Если не учитывать искажение канала шумом AWGN, то при выходе с корреляционного приёмника
веротность определения истинности каждого из двух символов будет (1-р). И определим это событие, как событие A.

Но нас не интересуют данные события по отдельности, нас интересует и сбой коммутатора и воздействие шума канала при одновременном своём проявлении.
Данное событие будет выражаться как объединение событий А и В и вероятность события (АВ) будет
выражаться как:

Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

тогда:

Р(z/s1)=(1-p)*(1/2*Pi*sqrt(б))*exp{(-1/2)*(z(T)-a1)/б^2};
P(z/s2)=(1-p)*(1/2*Pi*sqrt(б))*exp{(-1/2)*(z(T)-a2)/б^2};

Это решение по пункту (а). Кто в этом соображает,хотелось бы, чтобы меня поправили,если я решил неправильно.

Пункт (б) я не смог решить. Я так поняимаю с тематики этой задачи, что корректирующие коды использовать нельзя, а ничего в голову не приходит. Возможно у кого-нибудь будут другие идеи?
Пункт (в) пока так-же не решил.

Прошу оказать помощь в полном решении этой задачи и исправлении ошибок в решении пункта (а), если таковые имеются. Заранее благодарен всем.

По-моему, не совсем верно.
Символ будет принят верно если и коммутатор и детектор сработали правильно или оба ошиблись. Так что, вероятность правильного приёма = вероятность правильной работы коммутатора * вероятность правильного детектирования + вероятность ошибки комутатора * вероятность ошибки детектирования.
Отсюда можно получить (в) просто подставив цифры и сравнив два случая.
По поводу (б), насколько я понимаю, нужно максимизировать величину полученную в (a). При этом если p >0.5, то детектору для снижения ошибки приёма выгоднее чаще выносить неправильное решение.

Возможно, по моей вине, конечно, я не всё так корректно расписал в решении задачи.
Дело в том, что p(z/s1) и p(z/s2) - это не вероятности правильного или неправильного детектирования после коррелятора, а условные плотности распределения вероятности значений сигнала z на выходе коррелятора в завистимости от переданного сигнала s1 или s2 при воздействии в канале белого шума.
r(t) - это сигнал на входе коррелятора и он равен, по условию: r(t)=s1,2(t)+n(t), где n(t) - это гауссовский белый шум.
Математическое ожидание коррелятора по условию: E{z(t)}=E{integrate(r(t))dt}=E{intagrate(s1,2(t)+n(t))dt}=sqrt(E), где E -это энергия бита.
Коррелятор на своём выходе даёт видеоимпульс z(t)=a1,2(t)+n0(t), где а1,2 - желательный компонент а1 или а2 сигнала z(t), а n0(t) - шум. Причём коррелятор, в момент детектирования Т(конец периода следования видеоимпульса) на выходе даёт сигнал z(T)=a1,2(T)+n0(T),и отношения энергии сигналов а1(T) и а2(T) к спектральной плотности мощности N во время детектирования в момент времени T- максимально. То есть коррелятор максимизирует отношение сигнал/шум на своём выходе в момент времени Т. А уже вероятность ошибки детектирования в данный момент вычисляется с помощю Гауссовского интеграла ошибок, которая есть функция Q(x), а х - это аргумент, который зависит от энергии бита и спектральной плотности мощности, и для каждого вида модуляции формула для вычисления аргумента разная.
Поэтому задание пункта (а) не касается вероятности ошибочного или неошибочного детектирования бита, а заключается лишь в том, чтобы записать условную плотность распределения вероятности с учётом сбоя коммутатора.
И таким образом, с пунктом (б) я тоже не согласен, хотя вы тут меня немного подтолкнули на определённую мысль, по поводу пункта (б). Если получится, напишу.