Есть ли интегрированные триаки с драйвером включения с переходом через ноль?

Есть. MOC3083 например.

Это как раз драйвер триака. Вот мне и нужно чтобы был внутри одного корпуса этот драйвер + сам триак вольт так на 600-800 и ампер так на 5.
Есть такие в природе?

MOC3083 это нормальный маломощный оптоизолированный симмистор со встроенной схемой Zero-crossing. Работает в сети 220В на маломощную нагрузку от 5 до 20Вт. Да, его можно использовать для управления более мощным симмистором, но это все же не драйвер, а оптосиммистор. Аналогичный на чуть бОльший ток (2А max) - MOC2A60-5.
Вообще такие оптосиммисторы со встроенной схемой zero-crossing обычно выпускаются на токи в десятки-сотни Ампер в виде модулей. На 5А я не встречал. Называются обычно SSR - Solide State Relay with AC Output. Но нужно обязательно смотреть даташит! Бывают такие же по названию реле с выходом на MOSFET транзисторах.
Если вам хочется посмотреть на их разнообразие, то см. по ссылке. Доступность и цены в России нужно проверять по поисковикам типа efind.ru, findchip.ru, einfo.ru. Но насколько я помню, модули SSR стоят дороже, чем схема из MOC3081/2/3+симмистор. Так что смотрите и выбирайте сами.
P.S. Для ориентации в пространстве и ценах гляньте, например, сколько стоят модули твердотельных реле в Платане. И сравните с тем, во сколько обойдется покупка там же пары из MOC3082 и BT138 или BT139

S202SE2 от SHARP