Построил спираль, намотанную на тор.

t - переменная построения, меняется от 0 до 1
R1 - радиус спирали
R2 - радиус тора
N - количество витков







Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Спираль круглого провиля, нужно получить профиль, близкий к прямоугольному. Идеально было бы контролировать радиус скругления на углах прямоугольника.

Можно попробовать выполнить преобразование круга (как формообразующую основу тора) при помощи перехода к другим координатам, например артангенциальным (можно попробовать и другие нелинейные преобразования).

Вот например что получается из круга радиусом R=10 для параметра m от 1 до 10 (круг зажимается в пределах +-2 по осям x и y):

xc = 2*atan[(10*cos(2*pi*t))/m] / atan(10/m);
yc = 2*atan[(10*sin(2*pi*t))/m] / atan(10/m);

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Аналогично для трехмерного тора получаем следующие уравнения (формулы получены быстрым методом "научного тыка", так что, могут быть некоторые "неправильности" ):

x = sin(2*pi*t) * [R1n*atan(R1*cos(2*pi*N*t)/m)/atan(R1/m) + R2];
y = cos(2*pi*t) * [R1n*atan(R1*cos(2*pi*N*t)/m)/atan(R1/m) + R2];
z = R1n*atan[R1*sin(2*pi*N*t)/m] / atan(R1/m);

Конечно, это наверно не самый идеальный вариант, но вроде немного похоже на то, что требуется

Непонятно, что Вы хотите получить.. и зачем.

Спасибо, то, что нужно, в принципе получается.

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

И радиуса в углах хорошо регулируются. Но при сильном уменьшении радиуса собственный поворот витка приходится полностью на углы профиля, т.к. внутренние и внешние сегменты витка становятся почти вертикальными, а верхние и нижние почти радиальными. Немного уродует, на картинке видно.

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Пытался разворачивать спираль вокруг z через разложение меандра. Если не пытаться получить высокую "прямоугольность" профиля, то получается удовлетворительно, но с кол-вом членов в разложении более 100. При приближении к идеальному прямоугольнику спираль начинает сильно осциллировать на углах. Кол-во членов в ряде ограничено, в этом проблема.

Нажмите для просмотра прикрепленного файлаНажмите для просмотра прикрепленного файла


Оптимально конечно точными выражениями описать. Самурай, по вашему рецепту хороший результат получается, как бы еще немного подогнуть вертикальные и радиальные сегменты у витка по направлению обхода, чтобы спираль была более плавная при малых радиусах на углах? Посоветуйте что ещё попробовать, пожалуйста.



Что я хочу, вроде уже прозрачно. Требуется для проектирования обмоток импульсных трансформаторов. Думаю вы это сразу поняли, просто постеснялись признаться.

Нажмите для просмотра прикрепленного файлаНажмите для просмотра прикрепленного файла

Почти догадалась (Вам нужно аналитическое выражение в декартовых координатах?), но не постеснялась спросить...
А почему бы Вам не записать сначала... Типа - движение угол=константа*время, движение по ближней стенке , движение по верхней, по задней, по нижней. За это время угол должен повернуться на 360/число витков. Это не даст, конечно, аналитического выражения, но кусочки даст...

Математически точное уравнение тора, которое позволило бы однозначно и независимо задавать как скругление профиля, так и углы радиальных и вертикальных сегментов витка, мне пока, к сожалению, получить не удалось, на волшебника я только учусь.

На самом деле, если в том методе что я предложил выше управлять степенью "арктангенциальности" по оси z независимо от осей x и y, то результат немного улучшается.

Но наверно лучший вариант - это использовать разложение уравнений профиля тора в ряд Фурье. Только я использовал не меандр, а трапециидальную функцию по всем трем координатам. Осцилляции в точках разрыва в какой-то мере удается подавить, используя оконную функцию Хэмминга. Недостаток метода в том, что нет (или я не увидел) четкой взаимосвязи между количеством членов разложения и степени "трапециидальности" с получающимся результатом, все приходиться подбирать на "глаз" . И, к сожалению, отсутствует возможность плавного регулирования углов сегментов витка, т.е. или строго радиальные по координате x(y), или вертикальные по координате z .

Я прикрепил простенький скрипт для MatLabа и некоторое образцы тора для разных параметров.

Число членов разложения: 5,
коэф. задающие "трапециидальность" по осям x и y: pi/3, по оси z: pi/3
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Число членов разложения: 15,
коэф. задающие "трапециидальность" по осям x и y: pi/3, по оси z: pi/3
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Число членов разложения: 15,
коэф. задающие "трапециидальность" по осям x и y: pi/4, по оси z: pi/3
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Число членов разложения: 15,
коэф. задающие "трапециидальность" по осям x и y: pi/6, по оси z: pi/3
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Число членов разложения: 15,
коэф. задающие "трапециидальность" по осям x и y: pi/10, по оси z: pi/3
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Число членов разложения: 15,
коэф. задающие "трапециидальность" по осям x и y: pi/25, по оси z: pi/2.5
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Матлабовский скрипт
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Извиняюсь если невпопад скажу. Возможно я не понимаю всю сложность проблемы. Прошу не смеяться.
Но мне кажется, что надо описать сию спираль в цилиндрической системе координат.

А потом, например, перейти к прямоугольной системе координат. И такой переход делается, если мне не изменяет память, при помощи определителя Якоби.