Предположим есть сигнал, состоящий из L1 отсчетов нулей, N отсчетов синусоиды частотой F, L2 отсчетов нулей, т.е. типа обычного радиоимпульса. Возьмем преобразование Фурье длиной L1+N+L2, далее амплитудный спектр и фазовый. Затем отсчеты амплитудного спектра заменим отсчетами раномерного шума и далее от измененного амплитудного спектра и неизмененого фазового берется обратное преобразование Фурье (такой фокус прописан в одной англоязычной книге для демонстрации того, что в фазе содержиться информация о времени). Получается естесственно не исходный радиоимпульс, а что то такое абстрактное, но!, в этом абстракционизме оказываются четко обозначены границы исходного радиоимпульса. Соответственно возникает законный вопрос, а возможно ли чисто по фазовому спектру определить время начала и конца радиоимпульса?

Встречный вопрос. Если не секрет, для чего это все нужно, где применяется?

Не секрет - нигде не применяется, как мне кажется хотя бы по тому, что при малейшем добавлении шума в фазовом спектре уже ничего не видно. Так что просто интересно хотя бы для частного случая (когда радиоимпульс чистый, без шума).

Вот ежели комплексное число записать не через алгебраическую форму, а через экспоненциальную, то можно ли по показателю экспоненты узнать угол вектора символизирующего наше комплексное число?
Это Ваш вопрос сформулированный по-другому...
Тему можно "переобозвать" информативность разных форм записи комплексного числа...

Наклон огибающей (прямой) фазового спектра определяется этими параметрами (временами начала и конца радиоимпульса).


Если определить, что понимать под информативностью, то такая формулировка может быть и не будет звучать банально. На эту тему мне встречалась статья (возможно в каких-то моментах спорная), в которой рассматривались информативные возможности ФЧХ по сравнению с другими ЧХ в задаче определения параметров слоистой диэлектрической структуры радиоволновыми методами (Ахметшин А.М. Информационные возможности методов широкополосного радиоволнового контроля параметров слоистых диэлектрических структур // Дефектоскопия, 1989, № 3, с. 48-57).

Когда один импульс вроде да, наклон играет, но если последовательно два радиоимпульса идут то наклон вроде как не совсем понятно себя ведет, хотя как я описывал выше фосстановление через фазовый спектр границы этих двух импульсов проявляются однозначно.

Для двух радиоимпульсов наклон ФЧХ определяется выражением arg[a1*sinc({w-w1}*T1)*exp(j*w*t1)+a2*sinc({w-w2}*T2)*exp(j*w*t2)], где t1 и t2 - середина первого и второго импульсов, а1 и а2 - их амплитуды, w1 и w2 - их частоты, T1 и T2 - их половинная длительность.
Очевидно, информация о временных параметрах импульсов заключена как во АЧХ, так и в ФЧХ. Мне не понятно, зачем себя ограничивать для решения этой задачи только ФЧХ.

Ulysses
В принципе нет объективных причин ограничивать решение задачи только фазовым спектром, просто в книге я зацепил этот вопрос именно через фазовый. Если можно привлечь амплитудный спектр, то это наверное неплохо, но для меня это пока малехо удивительно.
И не могли бы Вы дань наводку где можно подчерпнуть информацию о том, как можно связать наклон в более общем случае, т.е. если имеется несколько импульсов.

И еще, в приведенном Вами выражении для двух импульсов у нас получается одно уравнение с двумя неизвестными t1 и t2, те вроде не удасться определить время начала каждого импульса при помощи данного выражения, и что означает w?

После Нового года и Рождества

А до нового года можно уточнить что такое w?, это если берется N размерное FFT, то это N дискретных частот?

w - круговая частота. Выражение, которое было записано Ulysses, дано в аналитической форме, то есть без дискретизации, следовательно, про FFT никто не говорил. Это будет только частный случай

Я попробовал этот вариант определения границ радиоимпульса и я бы не сказал, что в получаемом сигнале границы четко обозначены. Да, есть выбросы в местах границ, но они по амплитуде сравнимы с другими шумовыми выбросами (немного превосходят их), только заранее зная местонахождение границ можно эти выбросы идентифицировать как границы импульса.
Комплексный спектр одного радиоимпульса определяется как a*sinc({w-wc}*T)*exp(j*w*t), где а - амплитуда, wc - несущая частота радиомпульса, T - его половинная длительность, t - временное местоположение его центра (под sinc понимается ее дискретный аналог - функция Дирихле). В выражении использовано w как значение частоты, на которой определяется значение спектра.
Комплексный спектр суммы радиоимпульсов представляет собой сумму таких выражений. Информацию о начале t1 и конце t2 радиоимпульса можно определить из оценок значений T = t2 - t1 и t = (t1+t2)/2.

Накидал модельку

========================================
clear all
Fs=10000;
dl_imp=3*10^-3; %длина радиоимпульса
T=22*10^-3; % общий интервал наблюдения
N=T*Fs; %число отсчетов соответствующие всему интервалу наблюдения
sall=zeros(1,N);


f=2000;
t=0:1/Fs:dl_imp;
s=sin(2*pi*f*t);

t_start=8*10^-3; %время начала радиоимпульса
N_start=t_start*Fs; %номер отсчета начала радиоимпульса

sall(N_start:N_start+length(s)-1)=sall(N_start:N_start+length(s)-1)+s;
figure, plot((1:length(sall))*(1/Fs),sall)

sp=fft(sall);
figure, subplot(2,1,1),plot(abs(sp)), subplot(2,1,2),plot(angle(sp))

c1=angle(sp(45))/(2*pi*f) %вроде как ожидаемый центр импульса



========================================

но типа расчитанный центр не совпадает с истинным. Где заглюк?

Надо фазу разворачивать в линейную функцию при помощи unwrap.
Привожу свой пример, который работает:
%
clear; close all
t = (0:0.01:10)';
N = length(t);
f = 1.2; a = 1;
t1 = 0.0; t2 = 1.5;
tm = (t1+t2)/2; T = t2-t1;
disp( sprintf( 'Used parameters: f = %g, t1 = %g, t2 = % g, tm = %g, T = %g', f, t1, t2, tm, T ) );
TimeGate = (t >= t1 & t<= t2);
s = a * exp(1i*2*pi*f*t) .* TimeGate;
hf1 = figure('Name', 'Time signal', 'WindowStyle', 'docked');
plot(t,real(s),'.k-'); axis([t(1) t(end) -inf inf]); grid on; hold on
w = (0:N-1)'/(t(2)-t(1))/N;
S = fft(s)/N;
hf2 = figure('Name', 'Spectrum of signal', 'WindowStyle', 'docked');
subplot(2,1,1); plot(w,abs(S),'.k-'); axis([w(1) w(end) -inf inf]); grid on;
Phase = angle(S); uPhase = unwrap(Phase);
subplot(2,1,2); plot(w,Phase,'.k-'); axis([w(1) w(end) -inf inf]); grid on;
d = diff(Phase);
D = -median(d)/(w(2)-w(1))/2/pi;
disp( sprintf( 'D = %g, tm = %g', D, tm ) );
%
Но это вариант сделанный по быстрому и методически неправильный в плане определения параметров линейной регрессии.
Функция median() используется для отбора "правильных" значений наклона ФЧХ.

Ulysses Спасибо! Но есть одна непонятка. Когда берешь длину импульса менее половины интервала наблюдения, то все получается как надо. Но если берешь длину импульса более половины интервала наблюдения, то измеренный центр показывает абракадабру, в чем проблема?

Вроде ложная тревога, не из тех индексов брал отсчеты с фазовой характеристики.