Дело в том, что данная схема работает неустойчиво и при напряжении питания менее +-3В сигнал пропадает. Однако в паспортных данных ОУ LM224 минимальное питание - +-1,5В. Также идет наводка от электросети(может, это связано с большим кол-вом висячих проводов). Сигнал не всегда появляется при включении питания.

Там есть такая хитрая фраза "Large output voltage swing 0V to V+ − 1.5V" что означает размах выходного напряжения от 0 до V+ -1.5V
А поскольку у Вас V+=1.5V получаем размах выходного напряжения от 0 до 0. Т.е. LM224 не даст Вам никакого размаха.

Замените ОУ на какой нить Rail-to-Rail, например AD8606. Он сможет работать от такого низкого питания.

MCP602, правда, он лучше по F ед. усиления (2.8МГц), что м.б. источником проблем.

Эти элементы дорого стоят. 1 шт. стоит около 70р. желательно что-н. подешевле. Или вообще данная конструкция не очень удачна для этих целей. Тогда какую другую схему можно сделать?

Там по схеме желателен резистор утечки с 3 ноги на землю....это типа генератор какой?

Ну так Вы подаете мин. питание, а может и менее. Поставте 3 батарейки, 4,5В.

От чего питаешь? от сети или от батареек. если от сети поставь блокировочных кондеров на 100 нФ и электролит на 10мкФ , а операционник можно на LMV321 rail-to-rail заменить