Добрый день. Заинтересовал один вопрос. Допустим есть нелинейное звено типа "насыщение". Можно ли заменить это звено дважды непрерывной (то есть гладкой) функцией для исследовании характеристик контура обратной связи куда входит звено? Или стремятся, наоборот, всякие кривости аппроксимировать линейными участками? Хочется получить передаточную функцию звена в виде одной аналитической формулы.

Насколько мне известно, при нелинейности понятие передаточной функции (ПФ) в аналитическом виде не имеет смысла. Возможность получения ПФ объясняется тем, что если на вход линейной системы подать ряд синусоидальных сигналов с частотами Fi, то на выходе получим такой же ряд синусоидальных сигналов с теми же частотами Fi, но с другими коэффициентами и сдвигами фаз. В нелинейной системе при подаче на вход синусоидального сигнала с частотой F, на выходе можно получить набор синусоидальных сигналов с абсолютно разными частотами, даже не кратными F. ПФ является всего лишь математическим комплексным выражением, объясняющим как для каждой синусоиды частотой F на входе нужно поменять амплитуду и фазу, а в нелинейной системе одной частоте на входе будет соответствовать бесконечное множество частот на выходе. А если подать сумму частот на вход, то на выходе не будет сумма бесконечных множеств образовавшихся частот от каждой частоты на входе, так как они друг на друга влияют, и построение ПФ априори лишено смысла.
А вообще, если у Вас есть контур, который нужно промоделировать, то составляйте нелинейный дифур (или систему нелинейных диф. уравнений), запихивайте её в Maple и, может быть, Вам повезёт получить аналитическое решение, а если нет - придётся решать численно.

Да стремятся. Конечно там свои нюансы - если это исследовательская работа то Вы должны будете рассчитать погрешность аппроксимации для каждого участка и обосновать. Если для производства или "для себя" - вполне. Но вообще - да можно...

А замена гладкой функцией это как? Если честно даже себе не представляю...


Ну, вообще да...но... Но это так учат развращенную молодую имтеллигенцию в высоких институтиях затуманивая и так прокисший от LSD разум всякими там интегралиями. И с этим ничего не поделаешь, высоколобая профессура не хочет работать лопатами и стремится поддерживать амплуа таинственности и отрешенной мудрости изрекая многозначительные неоднозначности... Это у меня такой юмор, не воспринимайте лично... Мы же, чернорабочие кибернетического цеха, знаем, что вообще-то любому физическому объекту(энергия конечна), даже нелинейному, можно поставить в соответствие определенную передаточную характеристику. Нелинейный - не значит недетерминированный!!! Мы можем подать на вход объекта совокупность входных сигналов - а на выходе получить табличное значение - выходных. Именно то свойство что Вы изволили описАть - реакция на сумму воздействий не равна сумме реакций и желание полностью описать причинноследственную связь в системе - породит не простую передаточную характеристику в виде одномерной функции(для одномерного воздействия, как в случае линейных систем) а n-мерную. ЕЕ можно предстваить в виде дерева состояний(нелинейная дискретная система). Ну на компе в РПГшки играли? Единственная проблема - шаг сетки.


Но так далеко не всегда можно и нужно поступить на практике...

А это зачем, ради теоретического интереса? На практике не проще ли просимулировать конкретную нелинейную схему в частотной области для нужных амплитуд?

Спасибо за пояснения! Теперь все как-то более ясно в голове выстроилось. Просимулировать можно, более того симулировать буду, но я думаю будет нагляднее, если еще руками поковырять систему обратной связи на бумаге и сравнивать с результатами симуляции. С линейными системами вроде понятно и просто, а вот нелинейность впервые встречаю и не знаю с какой стороны к ней подойти. Фазовые портреты рисовать? Или решать на каждом линейном участке, а затем сшивать решения?

"И вот тут появляюсь я, весь в белом..." Я почему спрашивал о симуляции: как раз для таких целей Вам может подойти программа NL5. Она, конечно, считает любые схемы, но с самого начала упор был на импульсные источники питания, и системы с идеализированными нелинейными компонентами.
Пример на картинке - АЧХ (и фаза) простенького фильтра, усилитель которого имеет ограничение +/- 1В, для входного сигнала 0.1, 0.5, 1, и 3В.

Спасибо.

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Хм... Есть один ньюанс - у меня цифровая система регулирования. И хочется работать именно с цифровой моделью, для симуляции использую матлабовский симулинк.

По поводу детерминированности я ничего не говорил, а вот подать на вход совокупность сигналов и на выходе получить табличные значения - задача не совсем тривиальная, как может показаться на первый взгляд. Есть нелинейные системы с гистерезисом, и результат на один и тот же вход будет зависеть от предыдущего состояния системы. Конечно, дерево состояний в данном варианте также может наблюдаться, просто я хотел бы заметить, в каждом состоянии в общем случае ПФ записать также не получится. И вообще я не согласен с применением термина передаточная функция для нелинейной системы.

Появился еще вопрос. Есть частотный критерий Попова для определения устойчивости нелинейных систем. Пусть у меня есть цифровая система регулирования. Если путем билинейного преобразования перейти к частотной передаточной функции цифрового регулятора, можно ли для этой частотной передаточной функции применить критерий Попова. Или можно поступить проще?

Понятно, жаль. Ну, имейте в виду, если что...
Кстати, привет Новосибирску, я когда-то работал в ИЯФе.

Привет передам, я там и работаю. NL4 тоже Вы писали?

Ну, нетрудно догадаться... Только я в 6-1 был.