1)Читаю статьи о филтрах Фарроу.
Там эти фильтры больше фигурируют как фильтры дробной задержки.
Кто-нибудь может объяснить как задержка cигнала связана с передискретизацией, как , скажем, появляются ноыве отсчёты при передискретизации с использованием этих филтров...???

2)Хочу использовать эти фильтры в своей системе, где, например, нужно увеличить частоту дискретизации в 1.037 раз. Просто децимацией и интерполяцией (например функция resample в матлаб) мою задачу, думаю, не решить, т.к. коэффиценты первоначального повышения, а затем понижения частоты слишком велики.
Правильно ли я понимаю, что в фильтрах фарроу используется совсем другой подход и они здесь более пригодны...????

как студент буду очень благодарен всем, кто ответит)!

Ну например нужно вам вычислить новый отсчёт посередине между двумя исходными - это соответствует задержке кратной половине периода дискретизации, ФНЧ КИХ фильтр с чётным количеством коэффициентов обладает такой задержкой, можно построить набор таких фильтров(полифазный фильтр) под разные дробные задержки и таким образом вычислять фиксированный набор промежуточных отсчётов между исходными. Интерполятор фарроу позволяет легко вычислять отсчёт между исходными с любым положением(дробной задержкой).





Пригоден фарроу. Но требуется некоторая передискретизация для уменьшения искажений. Смотрите ЧХ характеристику интерполятора фарроу для наихудшего случая дробной задержки кратной половине периода дискретизации исходного сигнала, при фиксированном порядке интерполятора чем больше передискретизация тем меньше искажения.

Спасибо!

Почитайте про интерполяцию лагранжа... И вообще, про интерполяцию.

Большое спасибо! Такие наставлния и рекомендации, которые кому-то могут показаться очевидными, очень ценны.

Никак не даёт покоя вот такой вопрос.

Нужно выбрать наименьшую частоту дискретизации. Нужно было как-то связать частоту дискретизации и погрешность интерполятора.

В литературе нашёл такую формулу для выбора частоты дискретизации(см. вложение)

так вот, как я понял:

эпсилон - это погрешность интерполяции(в моём случае фильтром Фарроу, по другому - полиномом Лагранжа 3-й степени).
и, если(гипотетически) погрешность равна 0.01(т.е. 1%), и верхняя частота сигнала равна 2200Гц(ну, с учётом неидеальности цифрового фильтра чуть больше).
В итоге наименьшая частота дискретизации получилась 48400Гц!!!

теперь нужно посчитать реальную погрешность фильтра-интерполятора, что бы более точно выбрать частоту дискретизации.

Я всё правильно понял? Или эти формулы справедливы только для линейной интерполяции, и фильтра с крутизной -20дБ???

Вобщем нужно как-то завязать частоту дискретизации минимальную на входе фильтра-интерполятора с погрешностью этого интерполятора и наибольшей частотой в спектре сигнала.

выложите доку, интересно почитать.

Как я понял частота дискретизации выбирается на основе АЧХ/ФЧХ интерполятора, критерии выбора очевидны если вы их построите. А ошибка интерполяции зависит только от порядка интерполятора. Я выкладывал доки на форуме с подробным анализом интерполяторов.

ЗЫ. В вашем случае я бы делал не кубический фарроу порядка, а кубический интерполятор с фильтрами 10го порядка. Он дает меньшую ошибку интерполяции, но дороже в реализации %)

Чего такая любовь к полиномиальным интерполяторам? Если памяти дофига и реализация на чем-то вроде микропроцессора стоит посмотреть на банальный интеролятор на основе полифазного FIR. Посчитать такой проще, по вычислительным затратам быстрее.

p.s. вот простейший полифазный ресамплер c дополнительной линейной интерполяцией, "спуры" кажется не менее 50 дБ при F<Fs*0.4.
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

ответ прост широкополосные модемы, фпга. фарроу 3го порядка для 16 бит данных весит всего 400 плиток + 3 умножителя, работает до 200МГц (сыклон 3). А теперь фир?

Вы, наверное, не смотрели начало дискуссии в другой и третьей темах.
Это ему сейчас нужен прецизионный интерполятор для ресамплинга с коэффициентом 1.037. В другой раз ему нужен будет на 0.99 и всё решается в реальном времени. Полифазные фильтры ему не очень подходят, ему нужна адаптивная интерполяция, но в отличие от модемов, с точностью 0.001%.
Типа интерполяции Лагранжа по 7-ми точкам, как http://www.springerlink.com/content/r113673647v40251/

Не понятно, что есть "кубический фарроу порядка" ( порядка 3?), но результат видимо будет не хуже, чем у тех китайцев.

Дык, я не вижу особой разницы между полиномиальными интерполяторами и полифазными, при произвольном коэф. передискретизации у полифазного будет временной джитер, зато у полиномиального больше искажения АЧХ и то и другое не идеально.
Каких нибудь 500 фаз и дело в шляпе .

p.s. А по ссылке не понятно что там такое и как это работает.
p.p.s Код что я выше выкладывал кстати работает с произвольными коэф. передискретизации, правда там не совсем честная полифазная интерполяция + еще линейная интерполяция после полифазной.

[quote name='fontp' date='Dec 3 2009, 11:00' post='688363']
Вы, наверное, не смотрели начало дискуссии в другой и третьей темах.
Это ему сейчас нужен прецизионный интерполятор для ресамплинга с коэффициентом 1.037. В другой раз ему нужен будет на 0.99 и всё решается в реальном времени. Полифазные фильтры ему не очень подходят, ему нужна адаптивная интерполяция, но в отличие от модемов, с точностью 0.001%.
Типа интерполяции Лагранжа по 7-ми точкам, как http://www.springerlink.com/content/r113673647v40251/

Да всё верно.

но скажите, что по этой формуле(страница книги) для частоты дискретизации её можно использовать в моём случае ???
там пример если точность 0.01...
нужно как-то выбрать частоту дискретизации, что бы подать на вход интерполятора, и уже её изменять интерполяцией...

Тогда да. Думаю 1000 фаз устроит, меня бы устроило
Полиномиальный интерполятор тоже можно сделатьс любой точностью по АЧХ. Он может быть кусочно-непрерывным кубическим, а кусков может быть не 3 как в фарроу, а много. В частности,в принципе, можно с любой наперёд заданной точностью подогнать кусочный сплайн под sin(x)/x. Вы конечно догадались, куда я клоню

ЗЫ. Кстати после копирования оригинала по ссылке модератором Tanya, выяснилось, что китайцы оценивают только частоты, но не спектр мощности. До интерполяции и спектра там дело не дошло, хоть и перебрались в Америку. Другая статья (из IEEE) более интересна в том смысле, что там рассмотрен именно случай оценки основной частоты в присутствии большого кол-ва гармоник (для силовых сетей). Но до оценки спектра там дело тоже не дошло.

Там же написано что это для синусоидального сигнала. Если сигнал несинусоидальный про эту формулу можно забыть. Вам нужно понять что вы хотите. Если сигнал с цифровой модуляцией, скажем QPSK и требуется дробный ресамплер для синхронизации, то надо понять с какой точностью необходимо производить ресамплинг. Поскольку фильтры Фарроу - интерполяторы Лагранжа, то для них есть оценка ошибки в зависимости от порядка полиномов. Исходя из требуемой ошибки вырбрать порядок фильтра Фарроу и реализовать. В принципе на Фарроу свет клином не сошелся и можно использовать любой метод интерполяции ( кусочно полиномиальные сплайны и прочее). Осталось только понять какой метод интерполяции удовлетворит вас с точки зрения точности восстановления. То что вы привели 1% точности, это скорее справедливо для аналоговой передачи.

К тому что совершенству нет предела ?

Интересная статейка , но результаты в Table 2 (Mean squared error of frequency estimation in noise) больно подозрительные.
Для многих частот MSE при SNR 4 dB получается лучше чем при SNR 107 %).

реализуйте это на фпга и оцените ресурс %)



да 3 го порядка, я оцениваю размер полинома по количеству умножений на mu

На счет FPGA полностью с Вами согласен, альтернативы структуре Фарроу нет.

Думаю, формулень на этой странице несколько стремная...

Есть широко известная в узких кругах теорема о погрешности интерполяции.
Приводить ее тут не буду, но приведу оценку погрешности при интерполяции синусоиды частоты f0 по отсчетам взятым с частотой fd полиномом лагранжа 3-й степени:


err <= (3/8)*(pi^4)*((f0/fd)^4)

отсюда можно выразить либо f0, либо fd для заданной погрешности err

Конечно, если речь идет о интерполяции широкополосного сигнала с верхней частотой f0, то погрешность интерполяции будет фактически складываться из погрешностей от каждой спектральной компоненты лежащих ниже f0.



Если оверсемплинг позволяет выполнить лагранжа с приемлемой точностью - то да.
А если нет - один фик в полифазник упрешься...

Есть сигнал содержащий в себе основную гармонику ( fосн = 50Гц) и кратные ей высшие...
При этом основная гармоника случайно меняется от 45 до 55 Гц.
нужно построить правильный спектр гармоник (до 40-й включительно). Пусть сигнал дискретизирован с некторой частотой(????) и отфильтрован строго до 2200Гц (40-я гармноника для fосн = 55Гц).
Теперь необходимо передискретизировать сигнал, с учётом измеренного значения частоты основной гармоники.
Для того, чтобы предотвратить "растекание" спектра, т.к. при дискретизации на фиксированной частоте во временное окно уместится неполное число периодов сигнала.
Только так можно получить верный спектр. Этот метод производится как альтернатива оконному взвешиванию.
Никакая аппаратная передискретизация не годится.
Вот суть вопроса!

Теперь о порядке фильтра Фарроу.
Пользователь Евгений Николаев писал:

"В вашей задаче (если речь про Фурье всех гармоник) как раз Фарроу 3-го порядка и достаточен и вот почему:
1. Частота дискретизации, по-любому, из соображений точности должна накрывать сигнал так, чтобы на интервале между соседними 3-4 выборками сигнал мало отличался от 3-го порядка, т.к. иначе Вы с достаточной степенью точности этот сигнал не отфильтруете из-за вносимых искажений от гармоник более высоких порядков.
2. Т.к. исходный сигнал, всё-таки, содержит небольшой шум АЦП, к включению которого в огибающую интерполятор будет стремиться в меру своей степени, то наращивание порядка интерполяции приведёт к генерации несуществующих компонент. "

погрешность интерполяции зависит от порядка... я так думаю.

Так вот! Вопрос стоит вопрос в том, чтобы по какому-либо правилу выбрать частоту дискретизации приходящую на интерполятор!!!!????????
и всё...)

ИМХО Вы ошибочно зациклились на передискретизации.
"суть вопроса" не в передискретизации, а в наиболее точной оценке спектра.
Предлагаю другой вариант.
Это fitting.
Процедура такая:
1. Накладываем окно с малым уровнем боковиков (<90дБ) на входной массив.
2. Делаем ДПФ на основной частоте, результаты ДПФ используем как входные данные для фиттинга.
3. Определяем с помощью фиттинга частоту и фазу основной гармоники по минимуму в одной из квадратур.
Естественно при каждой итерации повторяя п.2.
4. Если есть желание, определяем фиттингом же первую производную частоты.
5. После этого можно также ограничить импульсные помехи, если они есть, и повторить п. 3, 4.
6. Получив параметры основной частоты вычисляем при помощи ДПФ все гармоники.

Я исхожу из суждений приведённых в данном документе(см вложение).
Жду комментарии всех, кто отвечал на форуме по моей теме.

если я не ошибаюсь то линейная интерполяция скрыта в этой строчке кода

poutBuf[count]=(m_b-m_a)*m_rem*m_recdt+m_a;

и еще вопрос. можно ли повысить точность за счет применения в этом месте сплайн интерполяции или может быть другого какого-нибудь вида. и если можно покажите как это можно сделать. спасибо

В предыдущем посте была арифметическая ошибка, поэтому удалил. Как удалять пост совсем - не знаю.
Если взять в качестве худшего случая изменение частоты с 45 до 55Гц за 1 час, то получаем относительную скорость изменения частоты 0.000055 в сек.
Для 40-й гармоники набежит 10гр. за 0.5сек.
Т. е. ошибка 0.01% от основной гармоники будет уже при уровне 0.2% 40-й гармоники даже при идеальной передискретизации.
А если ещё взять запас на метрологию...
Так что без производных частоты (и фиттинга) тут не обойтись, разве что при больших ограничениях на худший случай.

Для кубической интерполяции лагранжа

fd >= [ (3/8) * ((pi^4)/error) * SUM (i*f)^4 ]^(1/4)

Суммирование по i = 1 ... 40



Задаетесь первой гармоникой f, нужной ошибкой error и вычисляете минимальную исходную частоту дискретизации.
Например для error=0.01 и f=55 fdmin ~ 29211

Да именно в этом месте линейная интерполяция. Сплайн можно применить но придется все переделать. Сейчас это работает так: пусть мы желаем знать значение x(t), для этого с помощью полифазного фильтра вычисляются значения x(n*T), x(n*T+T), так чтобы n*T < t <= n*T+T (n - целое, Fs входная частота дискретизации, T = 1/Fs/8, 8 число "фаз" фильтра ) далее, путем линейной интерполяции из x(n*T), x(n*T+T) получаем оценку x(t). Для сплайна двух точек недостаточно, т.е. например, нужно вычислить x(n*T-T*2), x(n*T-T), x(n*T), x(n*T+T) и через эти точки провести сплайн. Я бы для повышения точности просто увеличил число фаз, вычислительные затраты при этом остались бы примерно такими же.

спасибо. именно таким образом как вы написали у меня интерполятор и работает. увеличение числа фаз приводит к незначительному повышению помехоустойчивости демодулятора в целом (практически незаметному). на вычислительные затраты это увеличение числа фаз тоже не влияет. поэтому я и спросил насчет сплайна или других полиномиальных аппроксимаций. может удастся за счет этого больше повысить качество ресамплера. да, при этом придется переделывать ресамплер. может попробовать комбинацию полифазного фильтра и затем фильтра Ферроу? просто у меня полифазный фильтр еще совмещен и с фильтром основной селекции.

Боюсь покзатться назойливым(или даже глупым )...
но откуда всзята эта формула???

http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

Воспользовавшись формулой http://upload.wikimedia.org/math/a/9/c/a9c...f0b18f3d3cd.png
Можно вывести формулу погрешности для синусоиды.

err <= (3/8)*(pi^4)*((f0/fd)^4)

И распространить ее на сумму гармоник:

err<=(3/8)*(pi^4)*(SUM(i*f0/fd)^4) k=1 ... 40


Отсюда можно получить формулу из поста...