Пример спектра сигнала ФМ-4, возведённого в 4-ю степень:

N = 5000;
Canst = [-1-1i 1+1i 1-1i -1+1i];
X = randsrc(1,N,Canst,10);%данные

N_B = 8; %число отсчетов на такт
X1 = [X;zeros(N_B-1,N)]; X1 = X1( : )';
b = rcosine(1,N_B,'',0.2,7);
y = y.*exp(0.15j*pi*(1:length(y)));

y1 = y.^4;

N_FFT = 1024*4;
[P_y,w] = pwelch(y1(100:end-100),[],N_FFT/4,N_FFT);


h = plot(w,P_y);
set(h,'LineWidth',2);
axis([0 5 30 80]);
grid on;



С центральным пиком всё понятно – при возведении в 4-ю степень фаза несущей учетверяется и в отсчётных точках, где межсимволика минимальна, сигнал имеет в спектре выраженный пик:
exp(j4*(2pi*f*t + pi/4)) = exp(j8pi*f*t)
Боковые пики на расстоянии символьной скорости от центрального пика образуются из межсимвольной составляющей. Подскажите, не встречал ли кто-нибудь аналитического выражения механизма появления эти боковых пиков, например зависимости их уровня от вида импульсной характеристики фильтра, мощности исходного сигнала и т.д.?

Уровень боковых пиков пропорционален энергии спектральных составляющих сигнала которые лежит за пределами интервала
fc - ft .... fc+ft, fc - несущая частота, ft- тактовая (частота манипуляции).

Наверное за пределами fc - ft/2 .... fc+ft/2?

Как выражается эта зависимость, например, через значение rollof?

Да конечно ft/2 должно быть.
Аналитическую формулы зависимости уровня боковых "палок" от rollof я не знаю. Но в принципе ее возможно получить.
Механизм формирования ФМ4 сигнала можно представить в виде сигнала s1(t) = sum( Ai*delta(t-i/ft) ) пропущенного
через фильтр, где суммирование производится по i, Ai - i-тый комплексный символ из набора exp(j*pi/2*(0:3)), delta() -
дельта функция, t - время. Все в непрерывном времени, для дискретного времени суть не меняется. Спектр сигнала
s1 периодический с периодом ft, на рисунке схематически представлен черными треугольникам.
АЧХ фильтра - синяя кривая.
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Получается в фильтрованный сигнала попадает
две пары одинаковых, но по-разному взвешенных фильтром, фрагментов s1 - это (a1, a2) и (b1,b2). Предположим,
что сигнал умножается сам на себя (т.е возводится в квадрат) в частотной области это соответствует свертке спектров.
Фрагменты а1,a2 и b1,b2 совпадают и дают боковые "палки", их уровень пропорционален площади a1, b1, при условии,
что фильтр не вносит фазовых искажений.
p.s. fc для строгости изложения считать равной 0.

Извините, не понял. У вас сигнал - последовательность импульсов Ai бесконечно малой ширины следующих через Т=1/ft. Так?
У такого сигнала спектр пропорционален (sin(pi*f*T)/(pi*f*T))^2. Про какие треугольники идет речь?

Да последовательность импульсов бесконечно малой ширины и бесконечно большой высоты . Каждый импульс ни что иное как
дельта функция Дирака умноженная на комплексный символ Ai,
i - это номер символа. Насчет (sin(pi*f*T)/(pi*f*T))^2 не согласен, форма спектра зависит от передаваемой информации, т.е. от Аi. Если
информация случайная спектр будет равномерным. Собственно это весьма традиционная модель представления QPSK, QAM.


Треугольники это чисто условно - их рисовать легче и видно наглядно где правый край, а где левый, чтобы отметить совпадающие
участки спектра. В реале там, что угодно только не треугольники.

Если каждый символ - дельта функция, то как будет переносится информация? Бесконечность на что не умножай, будет бесконечность.



Форма спектра зависит от формы сигнального импульса. Корреляция между символами будет влиять, добавляя выраженные спектральные компоненты, но для случайного потока символов (в нашем случае со случайным значением амплитуды) форма спектра будет определяться спектром одиночного символа.



Модель должна быть адекватна физическому процессу.

Дык передается в канал не дельта функция, а фильтрованная формирующим фильтром дельта функция.
Традиционно процесс дискретизации чего-либо математически описывался как умножение непрерывного сигнала
на последовательность дельта функций.


Полностью согласен.
Если h - ИХ фильтра передатчика то пропустив последовательность sum (Ai*delta(t-i/ft) через фильтр передатчика, на выходе получим получим sum(Ai*h(t-i/ft)). Полагая Ai некоррелированной, энергетический спектр этой последовательности будет выражаться как фурье-трансформанта от автокорреляционной функции от h.


Модель вполне адекватна физическому процессу, задача модели состоит в том, чтобы показать что в спектре ФМ сигнала существуют
одинаковые участки которые при умножении сигнала самого на себя дают пики в спектре на тактовой частоте. Ясное дело , что дельта функции
в природе не существует, но так и комплексных напряжений и токов в природе не существует, однако комплексные числа широко применяются
при анализе цепей сделанных из меди и железа .

Проще во временной области объяснить откуда эти палки берутся. Для простоты возьмём действительный сигнал на нулевой частоте. Сначала пропустим сигнал через дифференцирующий фильтр. На выходе на символьных переходах будем иметь импульсы, положительной полярности при переходе от -1 к 1 и отрицательной при переходе от 1 к -1. Если накапливать эти импульсы полосовым фильтром настроенным на символьную частоту то в среднем на выходе получим ноль, т к будем иметь примерно одинаковое количество импульсов положительной и отрицательной полярности в линии задержки фильтра и при сложении они компенсируют друг-друга. Теперь выпрямляем эти импульсы на чётной нелинейности и имеем на выходе полосового фильтра синус на символьной частоте. Очевидно что при уменьшении коэффициента ската амплитуда импульсов на выходе дифференцирующего фильтра будет уменьшатся, т к переходы между символами станут более плавные. На практике применяют не дифференцирующий фильтр а полосовой(prefilter так называемый), настроенный на половину символьной частоты полосы и определённым образом согласованный с приподнятым косинусом.

Во временной объяснить проще конечно, но изначально речь шла о том чтобы получить
аналитическое выражения для пика тактовой частоты при возведении в четвертую степень ФМ-4.
Мне кажется что для такой задачи частотный подход более удобен. Скажем, для фильтра вида
приподнятого косинуса, из геометрических соображения понятно что площадь фигуры b1 (см. рис.)
пропорционален фактору скругления. Т.е. амплитуда "тактовой палки" в спектре квадрата ФМ
пропорциональна фактору скругления.
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Нажмите для просмотра прикрепленного файла