Иммется белый гауссовский шум. Распределение известно (гауссовское), спектр тоже известен (белый).
Далее пропускаем этот шум через полосовой фильтр с полосой например 1/20 от частоты дискретизации.
Вопрос: какими будут статистические характеристики полученного сигнала.
Если можно ткните носом в литературу.

Белый шум - значит коэффициент автокорреляции равен нулю для dt != 0. То есть в каждый момент времени мгновенная величина шума не зависит от предыдущих значений шума. Поскольку фильтр линейный, то после него шум останется гауссовым, так как сумма независимых случайных величин с гауссовым распределением также будет иметь гауссово распределение.
После фильтра функция автокорреляции уже не равна нулю, то есть появляется зависимосить мгновенного значения шума от его предистории. Эта зависимость описывается той самой автокорреляцией. Ищите формулу, связывающую спектр шума и его функцию автокорреляции (по сути эта связь - преобразование Фурье).

а что будет с мощностью шумов за полосой и в полосе такого фильтра?

Ну с мощностью всё очевидно - сколько прошло сквозь фильтр столько и будет мощности после него. Например, если фильтр действительный полосовой с полосой 1/20 частоты дискретизации (Fs), тогда если на входе вещественный белый шум во всей полосе от нуля до Fs, то на выходе будет тоже вещественный белый шум с мощностью равной 1/10 мощности исходного шума и полосой равной 1/10 частоты дискретизации. То есть всё, что не попало в полосу пропускания, будет подавлено в соответствие с передаточной функцией фильтра. А то, что попало в полосу пропускания, пройдет сквозь него и будет искажено в соответствие с передаточной функцией фильтра.

А вот возник ещё есть вопрос: какие статистические характеристики будут у сигнала на выходе полосового фильтра если на его вход подать белый равномерный шум? Интересно какая будет дисперсия и какое будетраспределение.

Понятно, что распределение будет приближаться к гауссовому. Это следует из закона больших чисел. Ну а точные формулы надо искать в учебниках. Я после института в теорию вероятностей не заглядывал (лет 10 уже). Пусть знающие товарищи подскажут.