Допустим есть видеосигнал, ограниченный по частоте сверху допустим 1 МГц. При желании можно ограничить и снизу на уровне 1 Гц. Сигнал по сути одна единственная функция. Она не идеальная гармоническая функция, тем более, что идеальных не бывает в природе. Проще всего представить её как одну строку телевизионного видеосигнала, ограниченную по скорости изменения (по частоте сверху). Так вот, если сделать ДПФ от этого сигнала, то что будет в результате? Ну или как будет оотноситься этот результат (множество амплитуд и фаз каждого бина ДПФ) с непрерывной широкополосной функцией видеосигнала? Естественно, что по этим коэффициентам можно восстановить с хорошей точностью исходный видеосигнал. Но сами коэффициенты какую-то связь имеют с "исходником", то бишь с "единой функцией"? В частности, хотелось бы зафиксировать в результате - амплитуды и позиции в окне ДПФ частот из некоторого диапазона, например высоких частот в сигнале, пусть от 100 КГц до 1 МГц. Причём реальную амплитуду, а не проинтегрированную за всё окно. В частности чем шире я беру окно, тем точнее могу дифференцировать отдельные частоты в сигнале, но уже не могу вычислить реальную амплитуду частот (несущей), которые ввиду быстрой амплитудной или другой модуляции расширили свой спектр/ширину (быстро появились и быстро закончиличь). Хочу оговориться, я понимаю, что при ЧМ например несущая имеет бесконечный спектр, хотя амплитуда верхних гармоник может быть ускользающе мала. И у видеосигнала, как и у многих широкополосных сигналов та же беда. Я уже оговорил, что идеальных гармонических сигналов не бывает в природе. Приемлемым для меня результатом была бы ошибка на уровне значений тех высших гармоник, которые будут обрезаны при дискретизации видеосигнала (если они там были) и при вычислении ДПФ. В то же время по-умолчанию считается что я принял меры предосторожности и качественно отфильтровал все частоты выше Fd/2, где Fd = частота дискретизации.

Уточняю вопрос. Имеет ли смысл применять ДПФ для извлечения из широкополосного сигнала более узкополосных сигналов в некотором диапазоне спектра, которые (сигналы) по длительности (заметно) короче окна ДПФ ?

Диссонанс, однако ! Узкополосность в базисе Фурье это приближение (в любом таком отображении корреляцию же ищем) к гармонической функции, которая, как известно, бесконечна. Иными словами если узкополосна то монотонно гармонична и бесконечна - ну хотя-бы кажется такой на интервале рассмотрения. Уж никак не импульс...

Но в общем и целом я понял что Вы спрашиваете. Имеет...
...чисто аналитически кратковременные(а-ля дэльта-импульсы) сигналы отображаются вполне однозначно на ось частот. И их размазаность по частотным бинам не страшна - из этих бинов они востановятся точно той же амплитуды и формы(магнитуда) в тот же момент времени(фаза). Но... Это все если есть в наличии 32-х битный АЦП(шучу) и тип данных qadro float . C 10-ти битным(к примеру) АЦП и integer - уже все не так идеально, но вполне сносно для большинства технических приложений. Но это все относительно механизма FFT/DFT как способа работы с сигналом.

Если же Вы хотите обратиться к этому отображению для упрощения выявления этих самых "лишних" импульсов - то это довольно неудачное решение, их будет практически не разглядеть особенно если шум("эфира", тепловой) по-амплитуде сравним с спектральными составляющими импульса...

Придется параллельно ставить какой-то детектор с определенной постоянной релаксации либо коррелятор (если форма ожидаемых импульсов известна) для выявления их наличия в спектре. В итоге вся "быстрота" БПФ испаряется и возникает вопрос целесообразности его применения вообще.

Рабочий вариант - 2-х точечные вейвлеты Хаара или Добеши. Если разберетесь с принципом из построения бросится в глаза простота и наглядность. Чем большая скорость изменения импульса тем большее количество раз на интервале ищется с ним корреляция - что логично, при этом что "выбывает" из поля зрения является предметом анализа на более низкочастотные составляющие. При этом такое разложение может служить как детектором краткосрочных импульсов так и механизмом непосредственной с ним работы.

Вейвлеты пока побоку. Интересует чисто гармонический анализ. Условимся, что шумов в сигнале практически нет. Это не радио сигналы. Если (вдруг) есть шумы, то они принимаются как анализируемый сигнал. Так надо.

То, что мне надо можно реализовать полосовым фильтром, ну а дальше тем или иным способом выделяется амплитуда и прочие характеристики. В частности выделяется полоса 100 КГц..1МГц из видеосигнала. И уже по ней можно отследить частоту 200 КГц с АМ в 100 КГц, то есть экстремально быстро отслеживать её амплитудные изменения. Через ДПФ я не понимаю пока как такое можно реализовать с точностью ну хотя бы 128 точечного ДПФ. При работе с полосовым фильтром никакая особая точность/разр.способность АЦП не нужна как и дальнейшие вычисления с qadro float. Поэтому не вижу пока принципиальной "убогости" в работе с сигналом через ДПФ.


Проблема в том, что чем меньше точек в ДПФ, тем больше "мусора" в результате. Например 16 точечный ДПФ без функции окна даёт очень плохой результат. С функцией лучше по избирательности, но амплитуда страдает. Поэтому окно ДПФ я предпочитаю брать не маленькое, 128 сэмплов уже не плохо. Но из-за этого верхние частоты получаются проинтегрированы на этот интервал времени, которое занимает окно. И их амплитуды не соответствуют реальной. Фича ДПФ в том, что он "расслаивает" сигнал на множество бинов, которые независимы друг от друга и для узкополосных сигналов это то, что доктор прописал. Но когда сигнал более широкополосный, то ДПФ делает не то, что от него хочется. Становится невозможно узнать умплитуду сигнала шире полосы бина ДПФ.

Я тут подумал, может попробовать сделать 128-точечное ДПФ, но чтобы ширина окна была достаточно узкой. Придётся сделать что-то вроде ресемплинга или интерполяции чтобы увеличить кол-во сэмплов например на порядок. И тогда ширина окна уменьшится, то кол-во "точек" останется большим. Хотя довольно странно предполагать, что такой финт даёт новые данные. Но может быть новых данных не появляется, но уменьшаются искажения алгоритмов (ДПФ).

Т.е. Вы получать данные быстрее чем накопится 128 отсчетный блок? Я верно понял? Ну, классически это не возможно... Остается 2-а пути: либо STFT, либо:


Кстати - очень зря...

P.S.: если нужно именно амплитуду - чем плох IIR+взятие модуля?

Без проблем накопить даже блок 1024. Главное не потерять быструю АМ потом.

Нет, ну Вы вообще читали то, что я написАл?
И чем тогда не нравятся вейвлеты? О, можно угадаю, Вы их еще не применяли...


Логично, так и делают...


А теперь сядьте и подумайте что именно будет на выходе данной операции...


...ересь какая... Т.е. Вы берете свои "зашумленные" 16 отсчетов, вставляете впромеж них х.з. что и делая 128 (при этом частотный диапазон их будет простираться как и для 16 точек)точечное БПФ ожидаете на выходе исчезновение импульсов??? Это при том что 16 точечный интервал слишком зашумлен.


Страннее этот "финт" предлагать...



Так Вы ее и никуда не теряете...

Вроде да. Особенно на что я отписал этот ответ.


Оставлю на крайний случай. Да, не применял. Но ДПФ это тот же БПФ, у которого требовательность к вычислениям скромная. Так что это имеет немалое значение.
Кстати, работа с вейвлетами насколько требовательна по вычислениям?


Будет увеличенное на порядок кол-во сэмплов, но с той же верхней частотой в сигнале, обрезанной при первичной оцифровке. Более высоких частот не появится, остальные останутся без искажений.


Теряется мгновенная амплитуда. Точнее она размазывается по соседним бинам, но из них её обратно корректно собрать я не представляю как. Просто отбросить все ненужные бины, затем сделать обратное преобразование и опять по почти исходному синалу вычислять амплитуду?


Короче говоря, имеет ли смысл для этого связываться с ДПФ или "забить" на него, т.к. в таких делах от него никакой пользы? Т.к интересуемая полоса занимает 90% от общей полосы сигнала. Возможно взятие 20 точечного ДПФ и отбрасывание только одного бина +100..-100 КГц, потом обратное преобразование будет наамного хуже (с искажениями?) чем полосовая фильтрация.

Зависит от метода построения ортогонального базиса и количества точек собственной базового вейвлета. Для 2-х точечного Хаара или Добеши каждый шаг N-точечного DWT требует N сложений/вычитаний на каждом шаге+ N умножений. Для Хаара эти умножения - фактически деление на 2-а(даже векторов фильтров хранить не нужно!!!). Для int - это битовый сдвиг. С каждым шагом длина N уменьшается на 2. Уменьшать пока не надоест либо длина вейвлета не сравняется с длиной N(2-е точки в данном случае)...


Вы заведомо увеличиваете частоту дискретизации - почему верхняя частота останется прежней? А как же без искажений?... Интерполяция - вставка х.з. чего между отсчетами, а далее находится корреляция этого всего с тригонометрическими функциями... Откуда взяться точности? При этом за точные значения функции в конечном итоге будет отвечать столько же точек FFT как и до "финта".


...если уж "очень быстрая АМ" то не только по соседним. Вопрос в том знаете ли Вы максимальную частоту огибающей искомой АМ.


Если честно - я не понял изначально в чем проблема... Нужно что-то измерить, просто зарегистрировать, подавить... Очень поджимают ресурсы и т.д.

Откуда этот бред? С каких это пор ресемплинг вверх или интерполяция стали называться вставкой х.з. чего? Вы вообще преставляете, что если есть сигнал 1 КГц, то я его могу оцифровать частотой дискретизации = 3 КГц (для небольшого запасу), а могу оцифровать частотой 10 КГц, но сигнал от этого не изменится. Просто на 10 КГц будет избыточное кол-во сэмплов. Так вот кратный ресемплинг/интерполяция делает ровно то же самое.


Для сигналов 1МГц..100 КГц АМ подойдёт в районе 100 КГц. Но предворительно можно всё в 100 раз уменьшить чтобы спуститься до приемлемой вычислительной мощи процов. Например сигналы 9..2 КГц, модуляция 1 КГц. На 1 КГц сократил диапазон чтобы отдать его АМ.


Задача в том, чтобы качественно измерить, с таким качеством, чтобы можно было восстановить тот же сигнал с амплитудой 95-99%. Гармоника в сигнале одна, но её частота заранее не известна (только диапазон). И штука в том, что необходимо кроме амплитуды узнать ещё её частоту. Точнее основная гармоника в сигнале тольо одна. Ещё будут две боковухи, но я пока сам не понимаю что с ними делать. В любом случае их амплитуда будет малой.

Узкополосный сигнал, который по длительности заметно короче окна - это противоречие.
Тут в смысле ДПФ, сигнал может быть или узкополосный, или короткий.
И действительно, ядро вейвлет-преобразования - это то, что можно представить как
оптимально короткий и узкополосный сигнал.

Стало быть, ДПФ применять - мало смысла.
Можно попробовать сигнал дополнить нулями или повторить несколько периодов, а потом - длинный ДПФ.
Но вейвлет-преобразование будет лучше.
Особенно если сигнал совпадает с ядром.

Дык, не понятно в чем проблема если одна гармоника (типа одна несущая пусть даже не известной частотой) , и есть честная АМ, то накапливать выборку сколько не жалко и мерять частоту этой гармоники... Чего-то Вы не договариваете ...

Я не знаю как это точно назвать АМ или не АМ. "Несушка" появляется на несколько периодов и пропадает. В следующий раз когда она появится, это будет уже другая "несушка" Поэтому накапливать нельзя.

Мне ещё в качестве результата нужно воссоздать модулирующую функцию из нескольких точек и сгладить её какими-нить сплайнами или какой-то другой функцией с минимальными спектральными искажениями. Или просто её интерполировать по этим точкам как обычный оцифрованный сигнал.

ммм...из метрики нашего пространства?


ну... в учебниках это стыдливо вуалируют... Не материться же при детях, право слово ...


О да!...Оцифровать можете... При этом частота Нейквиста-Котельникова отодвинется согласно передискретизации, а верхняя частота сигнала останется прежней!!!. Но не все так гладко как Вы задумали - проводим мысленный эксперимент - интерполируем функцию из 2-х отсчетов(имеем право) до 1024. И сделаем FFT на 1024 точки... Какие частотные бины при этом правдивы? Наверное 0-й и первый, не так ли ... Кстати - это движение "совсем не в ту степь", не находите!?


...и как предлагается "спуститься"?


Ба... Да этот "критерий качества" намного-намного превышает даже понятие полосы пропускания фильтра(половинная мощность - 50% - 3 dB). По-сути нужен довольно точный измеритель... Хотя непонятна цель - для каких условий восстановить? Разделить сигналы?


...если она одна - то это часть синусоиды длинной в период рассмотрения FFT. А если это нечто "короче", то это уже частотная "пачка"...


??? При Fn=100 kHz и Fmax=100 kHz огибающей их амплитуда никак не будет малой...

Кстати, по-моему Вы чего-то не дочитали в Гоноровском (или Сиберте, смотря по кому учили). АМ так проста, стройна и "конечна" только если огибающая намного менее динамичная чем несущая. Иными словами там вся теория строится для Fcarier>>Fmax_mod. В Вашем случае, мне так кажется, это совершенно не так - т.к. под АМ подразумевается "пару отсчетов" в том или ином частотном диапазоне...


Именно...


...вобщем-то и я так думаю. Но GetSmart настаивает, что это АМ. Тогда, конечно, выгоднее DownConverter'ом вырезать этот участок и обрабатывать с малыми затратами... Но что-то мне кажеЦЦо уже, что и не АМ это совсем...


Да, и это и получится STFT.


Или те краткосрочные помехи...


Периодов или сэмплов? Но даже не это столь важно - главный вопрос - т.е. длительность жизни этой "несущей" много меньше периода накопления для FFT? Так? Но свой краткий миг жизни эта функция представляет собой участок синусоиды той или иной частоты? Как бы ключем коммутированная да?


А-а-а-а-а... Проект "Булава", как же, наслышаны ...

Не нахожу. На мой взгляд это именно то что надо. Т.к. внутри окна будет минимум периодов (1..2) несущей частоты. А вот далее опять магия по нахождению пика на спектре (первым бинам) с помощью сглаживания и определения дробной, промежточной частоты. По этой второй причине мне этот алгоритм тоже не нравится. От одного недостатка избавляешься, второй вылезает. Таковы свойства ДПФ.


Это чисто для отработки алгоритма. Можно выбрать любой кратный диапазон частот. Кроме того, рилтайм не обязателен.


Да, нужно разделить сигналы. Причём несколько разных несущих могут нах-ся рядом, но не слишком. Например 800 кгц и 400 кгц. И разделить эти частоты для ДПФ труда не составляет. Поэтому и здесь пока проблемы я не вижу.


В том-то и дело, что это ДПФ преобразует в "пачку", т.к. у него такие свойства. А на самом деле это одна гармоническая функция с шириной спектра (много) шире бина ДПФ.



Я немного упростил описание. Для 900 КГц несущей АМ допустима 100 КГц. Для 100 КГц несущей частота АМ будет кратно меньше. Короче, 5-10 периодов несущей - минимум. Вполне может быть и 50 периодов.


Как бы это объяснить. Я брал широкое окно чтобы улучшить разрешение по частоте, а получалось что заваливалась амплитуда. Тут безвыходная ситуация, либо частота будет слишком неточна, либо амплитуда. Но это свойство (недостаток?) именно ДПФ, а не какой-то принципиальный.


Периодов. Не ключём, иначе кроме сигнала была бы куча мусора из верхних гармоник. Это синусоида, плавно модулированная гладкой функцией.

Вот пример сигнала, который хотелось бы качественно измерить. Главное по амплитуде на уровне 90%, по частоте такие короткие сигналы можно хуже, но чем длиннее, тем ессно точнее. На картинке несущая модулирована частотой в 5 раз меньше несущей с глубиной модуляции 50%.

Но это пример из самых коротких, которые хотелось бы мерить. В реале сигналы будут длительностью начиная от такого и в 100 и 1000 раз длиннее. Так что метод нужен универсальный, в плане длительностей. С длинными сигналами прекрасно справляется ДПФ.

Буду читать про вейвлеты. Может это и есть что мне надо.

На картинке буквально 4 периода несущей. И на первый взгляд измерить эту несущую не представляет труда. Это буквально расстояние между двумя самыми нижними полуволнами в центре картинки. Думаю точность при этом будет более 90%. Для несущих, близких к Fs/2 чтобы так точно определить расстояние между полуволнами как раз ресемплинг вверх раз в 10 помог бы ИМХО.

Вот ещё один пример.

На большой картинке есть вертикальная разметка несущей частоты. Судя по ней можно без труда вычислять частоту с точностью чуть ли не 99% даже на таких экстремально коротких импульсах. Что самое для меня пока непонятное, так это если ресемплинг вверх можно делать чуть ли не в 100 раз без искажения сигнала, то в те же 100 раз этим ресемплингом можно увеличивать точность при вычислении сигналов, близких к Fs/2. "Вычисляя" можно сказать дубовым способом просто расстояние между пиками сигнала. Ессно предворительно задавив более верхние и низкие частоты, относительно несущей. Алгоритм примерно такой. Предворительно ищется пик на FFT, затем проход через узкополосный фильтр на эту частоту, а затем уже элементарное измерение расстояний между пиками в центре сигнала.

Ну, где-та-да, "сэм-восэм".. Можите и не думать вовсе..

После экспериментов с АМ модуляцией кое-что прояснилось. Вот пример сигнала с модуляцией в 2 раза меньшей частоты несущей. Причём два варианта с разным сдвигом модуляции и несущей. Результат вычислений этих двух (и всех остальных вариантов сдвига) должен быть одинаковый. Спектр этих сигналов примерно в 1.5 раза выше чем у несущей. На картинке под голубым цветом был чёрный оригинальный сигнал. Далее из него в местах чёрных квадратиков взяты 7 сэмплов с разрешением 14 бит. По ним через синк восстановлены все промежуточные значения сигнала, отображённые голубым цветом. Частота сэмплирования в 3.2 раза выше несущей, причём если уменьшить эту частоту до 3.0, то резко вылезают искажения, то есть частота сэмплирования на пределе допустимого. Ошибка восстановления по 7 сэмплам на уровне 1-2 процентов от оригинала. При большем кол-ве сэмплов ошибка будет много меньше.

Так вот, вопрос - чем можно точно измерять такие сигналы? Причём каждый сигнал имеет ширину Fcar+-Fmod, где Fmod может доходить до половины Fcar (Fcar будет задаваться в алгоритме). Независимых сигналов в общем сигнале может быть много (в зависимости от ширины Fcar), но они в любом случае по спектру не накладываются друг на друга. В качестве результата необходимо иметь мгновенную амплитуду каждой из несущих с относительной ошибкой 10% максимум. И ещё частоту каждой несущей (ессно в соответствии с амплитудой) тоже с относительной ошибкой в 10%.

Вейвлеты способны это вычислять? При вычислении через них спектр тоже будет квантован (как в ДПФ)? При вейвлет анализе не образуется вейвлет "пачек" по аналогии с частотными пачками от ДПФ?