Приветствую всех!

Интересует такой вопрос. Имеется два сигнала (сигнал действительный) - гармоническое колебание и белый шум.

Как я понимаю, если входной сигнал имеет вид A*sin(wt) (и, для простоты попадает точно в i-й бин), то, если нормализовать наше ДПФ под амплитуду гармонического сигнала (как традиционно делается), значение i-го бина будет равно амплитуде A, т.е. мощность по такому спектру можно определить, как A^2/2.

Если входной сигнал это широкополосный белый шум с нормальным распределением, то в результате вычисления ДПФ получим две последовательности случайных величин I(i) и Q(i) (для i-го бина). Вопрос, если входной шум имел СКО sigma, какое будет CKO у этих последовательностей и закон распределения, при такой же нормализации ДПФ, как в примере выше (как я предполагаю, закон распределения останется нормальный, а СКО наверное будет sigma/sqrt(N) )?

Заранее спасибо! Извиняюсь, если что-то описал криво или не совсем понятно

У Марпла приведено другое, более сложное выражение для дисперсии (см. "Цифровой спектральный анализ...", приложение 4.А).
То что I() и Q() будут распределены по нормальному закону тоже далеко не очевидно.

Для периодограммы закон распределения будет p(x)=e^(-x) для i=1,2.... для i=0 (e^(-x))/(2pi*x)^0.5(белый шум с единичной дисперсией и нулевым математическим ожиданием).
Получено до нас.

Спасибо за наводку - интресно Но я не вел речь о периодограмме - меня интересовали именно значения I и Q. Ибо после вычисления модуля распределение изменится (например, если исходные последовательности имели нормальное распределение, то модуль будет иметь распределение Рэлея)...


По идее свойство "гауссовости" процесса сохраняется при линейных преобразованиях. Это означает, что если на вход линейной системы воздействует гауссовский процесс, то наблюдаемый на выходе системы процесс также будет гауссовским, ну а ДПФ вроде линейное преобразование?

Santy
Спасибо за ответ, но я не про периодограмму...

Загадка в том, что по Марплу дисперсия амплитуды не уходит в ноль с ростом N (во введении у него есть исторический экскурс на эту тему), значит и CKO I/Q тоже не должно уменьшаться с ростом N. Парадокс возникает из-за разной нормировки DFT. Для сохранения амплитуды синуса используется нормировка на N, при этом СКО суммы тоже делится на N, а для сохранения энергии (длины вектора) - надо нормировать на корень из N, и СКО суммы при этом уменьшается всего на корень из N. Если рассматривать DC, оно же I(0), то СКО суммы - это СКО входа умножить на корень из N (для амплитуд других частот - см сложную формулу в Марпле).
Т.е. если нормировать на N, то СКО уменьшается не только за счет уменьшения неопределенности, но и за счет того, что сам сигнал ослабляется.

Что за загадки обсуждаем?

Отсчеты DFT - это взвешенные суммы отсчетов сигнала. Если шум аддитивный белый гауссов - дисперсии отсчетов сигнала суммируются с весами, равными квадратам весов в суммах. Веса - синусоиды, квадрат их в среднем 1/2, что дает просто равномерное распределение энергии шума между I и Q. Для нулевого отсчета I вес в энергии равен единице по очевидным причинам. Ну и нормировка. Если мы оценивам спектральную плотность шума и хотим воспользоваться равенством Парсеваля - то нормируем на корень из N. Квадрат из корня из N даёт просто N, то есть просуммировали N равных дисперсий со средним весом 1/2 и поделили сумму на N, то есть получили дисперсию I и Q равную половине дисперсии отсчетов сигнала. Если же делим на N - то веса дисперсии пропорциональны N^-2, и дисперсии сумм равны дисперсиям отсчетов сигнала делить на 2N, то есть в пределе нуль. При этом если в сигнале была одна синусоида, которую мы хотим измерить - то её энергия в отсчетах Фурье при такой нормировке не изменяется при увеличении N, ради чего и нормируют так, а в исходном сигнале её энергия возрастает пропорционально N.

Ну и ввиду ортогональности Фурье-базиса и некоррелированности исходного шума все отсчеты DFT независимы.

Что касается Гауссовости: ввиду Цертральной Предельной Теоремы, I и Q будут почти наверняка (в нематематическом смысле ) более нормальны, чем исходные отсчеты.

В общем, всё тривиально.

Oldring, Спасибо за ответ!

Собственно подобные рассуждения были и у меня, но нормировка запутала совсем и я решил, что где-то ошибся,поэтому подошел к вопросу издалека . Теперь можно задать и основной вопрос



Как я понимаю, при такой нормировке амплитуда гарминического сигнала, который попадает в i-й бин будет равна sqrt(I[i]^2+Q[i]^2), и т.е. мощность p[i]=(I[i]^2+Q[i]^2)/2, если усреднить это дело во времени (много спектров)

P[i]=sum(t=1..T, (I[i,t]^2+Q[i,t]^2)/2)/T, (1)

то результат не изменится (P[i] в данном случае не является случайной величиной) ?

Если же рассмотреть шум, то при квадратичном усреднении спектров во времени, можно изменить порядок суммирования и получим

P[i]=sum(t=1..T, I[i,t]^2)/T + sum(t=1..T, Q[i,t]^2)/T, (2)

заметим, что суммы это дисперсии случайных процессов I и Q, эти процессы имеют одинаковые параметры, таким образом P[i]=sigma^2/N - т.е. мы получили мощность шума в i-м бине (входной шум равномерн распределился между всеми N бинами).

Как видим (1) и (2) отличаются только на множитель 1/2.

Теперь вопрос - есть задача - вычисляем много спектров и усредняем (как выше,по формуле (2)). Сигнал это смесь гармонического сигнала и шума. Задача - определить соотношение мощности шума в i-м бине к мощности гармонического сигнала (который для простоты точно попадает в j-й бин). Из того что я написал выше, получается, что бины, которые отображают гармонические составляющие спектра требуют коррекцию 1/2? Т.е. если j-й бин содержит неусущую (гармонический сигнал, много больший шума), а i-й шум, то соотношение мощностей будет 2*P[i]/P[j] ?

Т.е. интересует нужна ли коррекция 1/2 (если все считать по формуле (2) ) или я где-то ошибся?

Нет. Если амплитуда синусоиды равна 1 (мощность - 1/2), то модуль отсчета её бина будет равен 1/2, энергия - 1/4. Синусоида даёт энергию в двух бинах ДФТ: прямом и зеркальном, так сказать. Плюс энергия шума в этом бине.

Осреднение по большому числу спектров результат не изменяет.



хи-квадрат с 2Т степенями свободы будет распределение у P[i]. Можно посчитать всё точно, но без заглядывания в книги не помню.



E(P[i])



Где?
Энергия одного бина с синусоидой при такой нормировке практически не зависит от N и равна 1/4+sigma^2/N, а энергия шумового бина равна sigma^2/N в среднем и убывает обратно пропорционально N.

Кстати, что шум некоррелирован - это не совсем верно. В зеркальных бинах соответствующие I и Q очень даже попарно равны.

С этим понятно, "зеркальную" часть не учел...


Это понятно, но в данном случае P[i] рассматривается, не как случайная величина (предполагается достаточно большое время усреднения и P[i] это оценка энергии). Так что вариант, который я привел по идее тоже точный.



Нашел свою ошибку - как-то выпало из рассмотрения, что сигнал действительный и когда мы берем выбоку N отсчетов, то отсчетов ДПФ, соответствующих реальному спектру будет в два раза меньше. Теперь разобрался - все понятно - большое спасибо !