Есть несущая частота, принятая с шумом и снесённая на номинальный ноль. В идеале весь мой сигнал выродится в зашумлённую константу, но на практике из-за того, что есть частотное смещение, я получу комплексную экспоненту с маленькой частотой. Вот мне нужно эту частоту определить самым простым и быстрым способом.

Алгоритм 1:
Я беру две выборки сигнала длиной N отсчетов и скалярно помножаю друг на друга (понятно, начала этих выборок находятся во времени друг от друга ближе, чем минимальный период искомой частоты). Аргумент полученного комплексного скаляра делённый на количество отсчетов в выборке - это есть прирост фазы на отсчёт. Если я его поделю на 2*Pi и умножу на Fs, то получу искомую частоту.

Алгоритм 2:
Предположим, что фаза меняется медленно. Я беру две выборки длиной N отсчетов и усредняю каждые K соседних отсчетов в каждой выборке. Таким образом я получаю две выборки длинной (N/K) отсчетов и далее действую по алгоритму 1. В предельном случае, при определённых ограничениях на N, можно взять K = N.

В отсутствие шума результаты алгоритмов совпадают. Но если шум присутствует, то в результате второго алгоритма, как бы получается, что перед тем, как находится прирост фазы на сэмпл, мы усредняем шум, уменьшая его амплитуду в sqrt(k) раз. Или мне это приглючилось и алгоритмы одинаково эффективны?

На первый взгляд мне кажется так: в первом случае получается уменьшение шума в sqrt(N) раз поскольку делите аргумент полученного комплексного скаляра на число отсчётов в выборке т.е. на N. Во втором случае вы сначала делите на k, уменьшая шум в sqrt(k) раз, а после по алгоритму 1 ещё в sqrt(N/k) раз (поскольку у вас осталось не N, а N/k отсчётов в выборке) итого выигрыш во втором случае равен sqrt(k)*sqrt(N*k)=sqrt(N).
Мне думается, что эффективность будет одинаковой, хотя может где-то чего-то и наврал.
А моделировать не пробовалось?

Пока не пробовалось. Нет под рукой матлаба

Не правильно. Второй алгоритм лучше (если изменение фазы за время k не велико), т.к. для первого случае уменьшение шума будет в sqrt(N/2) раз.
Пусть s, s1, - фрагменты сигнала, n, n1 - шум, все вектор столбец. Скалярное произведение
(s'+n')*(s1+n1) = s'*s1 + s'*n1 + n'*s1 + n'*n1.
s'*s1 - полезный сигнал,
s'*n1 + n'*s1 - шумовая компонента, ее дисперсия будет в 2*N раз больше чем дисперсия исходного шума
n'*n1 - для больших сигнал шум этим можно пренебречь.

ps шум предполагается не коррелированным.

Всё правильно. Спасибо! Чего-то вчера вечером уже башка не работала

Всех с наступающим праздником!

В этом источнике описан целый ряд алгоритмов по оценке частоты Нажмите для просмотра прикрепленного файла

А по-моему правильно, за исключением оценки подавления шума. Пусть первый алгоритм давит шум в sqrt(N/2) раз.
N - полное число отсчётов в выборке
k - число усреднений при получении одной точки (во втором алгоритме)
n=N/k
тогда если через второй алгоритм работать получаем: sqrt(k), после переходим к алгоритму (1) и получаем sqrt(n/2). перемножаем и получаем sqrt(k)*sqrt(n/2)=sqrt(k)*sqrt(N/2k)=sqrt(N/2).
Так, что вроде бы алгоритмы одинаковые.

Добрый день. На днях столкнулся с подобного рода задачей. Интересует следующий вопрос: если в качестве ядра алгоритма оценки используется преобразование Фурье с дальнейшей интерполяцией отсчетов спектра, то существует ли какая-нибудь методика оптимального (с точки зрения минимального отклонения по частоте) выбора основания преобразования Фурье, или же проблема рещается просто: чем выше разрешение пр-ия Фурье, тем лучше оценка, и тогда ничего не надо интерполировать?

В общем виде работает правило чем выше разрешение преобразования, тем лучше. Однако, если есть какая-либо априорная информация о сигнале ( ключевых частотах спектра, например) то основание для преобразования можно оптимизировать так, чтобы ключевые частоты не расползались по соседним бинам. Это нужно моделировать на конкретных сигналах.

Существует несколько способов быстрой оценки частоты комплексного гармонического сигнала. Для начала, следует задаться границами её изменения, а также другими характаристиками сигнала (напр., стационарность имеет важное значение).
А о шуме что-нибудь известно?

Первый алгоритм сгодится для оценки только при достаточно большом отношеннии сигнал-шум.
Второй выглядит несколько получше, но тоже далёк от оптимума, насколько я могу судить.
Думается, (кусочная) полиномиальная или комплексно-экспоненциальная аппроксимация функции будет работать лучше. По методу наименьших квадратов, например, если шум гауссов.

При малом числе периодов функции, ДПФ будет давать сильно смещённую оценку, и не из-за низкого разрешения, а, в основном, по причине растекания спектральных компонентов (явления Гиббса).

В литературе описано огромное кол-во методов оценки частоты. А Вам нужно сделать правильный выбор для вышей конкретной задачи и доступных ресурсов для ее решения. Например, по критерию максимального правдоподобия отимальный метод - это БПФ.
Посмотрите еще здесь Нажмите для просмотра прикрепленного файла




Не совсем так, явление "утечки" в БПФ может пивести к неправильным результатам, даже при больших разрешениях БПФ. Так, бин в котором расположена интересующая нас спектральная компонента может быть сильно искажен боковыми лепестками соседних бинов, в которых расположены мощные мешающие сигналы. Для борьбы с эффектом "утечки" применяют окна, но платить придется уменьшением разрешающей способности.
Еще совет, если точно известны все возможные значения частоты (например OFDM), то частоту дискретизации сигнала и размер БПФ следует выбирать так чтобы эти частоты находились в середине бинов.
И по-поводу интерполяции, это тоже метод . Вот, например, простой и эффективный метод локализации спектрального пика.
mpeak = mmax - Re(delta), delta = (X(mmax+1) - X(mmax-1)) / (2*X(mmax) - X(mmax+1) - X(mmax-1) ), где mmax - целочисленный индекс наибольшей по модулю спектарльной компоненты |X(mmax)|. X(mmax+1), X(mmax-1) - комплексные спектральные отсчеты по сторонам от наибольшего отсчета. fpeak = mpeak*Fs/N, mpeak - дробный
Этот метод дает погрешность при сигнал/шум 3 дБ примерно 0.06 от ширины бина.