Уважаемые коллеги, к сожалению не вижу способа отражения формул, поэтому подгружаю картинку.
А вот вопрос сам:

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Правильно ли я понимаю, что здесь частота получается мнимой при этом другие параметры, которые входят в формулу являются действительными числами, что и позволяет говорить о комплексности а не просто мнимости?
Заранее спасибо с уважением Алексей.

Получившаяся функция комплексная только потому, что в формуле присутствует мнимая единица j. w - обычно вещественный аргумент лежащий от 0 до бесконечности, некоторым нравиться рассматривать его от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Формулы можно, но картинки нужно сжимать. Экономьте диски и трафик читателей.

Неправильно понимаете . Частота никогда не бывает ни только мнимой, но и комплексной. Частота - всегда действительное (реальное) число.

С Баскаковым есть одна засада. То, что он называет в своём учебнике "спектральная плотность", есть просто преобразование Фурье сигнала, а на буржуйском термин "spectral density" обычно обозначает "power spectral density". PSD - действительнозначная функция частотры, в отличие от преобразования Фурье детерминированного сигнала, которое существенно комплексозначно и фаза которого, вообще говоря, зависит как от свойств самого сигнала, так и от выбора начала отсчета времени. Более того, преборазование Фурье сигнала не является плотностью чего-бы то ни было физически осмысленного, в отличие PSD.



Тем не менее, термин "complex frequency" существует.
Комплексные частоты приобретают смысл при рассмотрении преобразования Лапласа.

Уважаемые коллеги!
Разумеется картинку необходимо сжимать. Здесь прошу прощения. Был не прав. А вообще-то хорошо бы в данном форуме появился какой-нибудь редактор чтобы можно было бы вводить формулы а не делать и пристыковывать картинки.
Теперь по сути вопроса.
Частота - это действительная переменная как сама по себе вообще оба числа в комплексном числе они действительные только одно мы называемым мнимым при J. Но она - частотм находится при мнимом J. Следовательно будем считать мнимой. Вопрос как я понимаю она может крутиться либо против часовой стрелки и против. В одном случае действительная в другом мнимая. сейчас не хочу уходить в детали какая из них какая.
А вообще всем как всегда огромнейшее спасибо за ответы.
С уважением Алексей.

Такой вид формул устраивает ?
Редактор можно использовать вот этот. Набираете в нём формулу а потом вставляете в форму ответа заключив её в теги tex /tex. Выглядит это примерно так:

Удачи

Необходимо всегда чётко сознавать какой математический аппарат применяется и к каким именно сигналам.
Если мы рассматриваем входной действительный сигнал x(t), то применение мат.аппарата теории комплексных функций (который рассматривает его как сигнал (z(t)=x(t)+i*0) даст результат с симметричным ( или антисимметричным) спектром. Т.е. работать на участке частот от -бесконечность до 0 не имеет смысла и отрицательная частота - выступает искусственным параметром не имеющим физического смысла, хотя и удобной математически.
Если же мы рассматриваем входной многомерный сигналы, то тут отрицательная частота настолько же материальна как и, например, величина амплитуды и т.п. В качестве примера рассмотрим двумерный сигнал {x(t),y(t)}. Его можно получить как измерение координат какого-либо объекта двигающегося на плоскости X-Y во времени. Так как эти сигналы x(t) и y(t) связаны, то удобнее работать с единым комплексным сигналом: z(t)=x(t)+i*y(t). Так вот здесь, спектры не бывают симметричными, и обрабатывать необходимо от -бесконечности до +бесконечности. И тут w имеет следующий смысл: при w >0 : в сигнале есть вращающиеся составляющие против часовой стрелки: при w<0 ... против часовой стрелки. при w=0 : в сигнале отсутствуют вращающиеся составляющие и он представляет собой прямолинейное движение (с ускорением или без).

Уважаемый коллега!
Большое спасибо за ответ. Очень фундаментально и интересно для меня. А вот то что Вы далее пишете про использование мат аппарата для описания в координатах ХУ это тоже интересно но не совсем понятно. Правильно ли я понимаю, что если мы опишем функцией движение в координатах ХУ и далее эту функцию во времени разложим в спектр т.е. по синусам и косинусам то эти функции как раз и дают ускорения. Что Вы называете и вообще как мне понять то что Вы пишете w. Хотя я и понимаю что к электронике это имеет весьма опосредованное отношение.
Заранее спасибо с уважением Алексей.

Аппарат немного сложнее. Во первых необходимо определить саму функцию описывающую движение. Возможны как минимум два варианта представления: 1) плоской алгебраической кривой заданной неявно, вида F(x,y)=0; 2) двумерной параметрической кривой {x(t),y(t)}, т.е. когда по условию задачи наличествует t. Во втором, нашем, случае для определения составляющих можно воспользоваться и методом Фурье (хотя он наиболее слабый из всех остальных для данной задачи). Возьмем преобразования Фурье комплексного сигнала z(t) и получим комплексный спектр С. Анализируя получаемый амплитудный спектр |C|, находим максимум лепестка соответствующего частоте вращения, отсюда получаем частоту вращения, причем лепесток от гармоники частоты вращения может располагаться как в области положительных, так и в области отрицательных частот, что зависит от направления вращения. Радиус и фаза определяются как модуль и аргумент комплексного спектра на найденной ранее частоте вращения. Положение центра локального участка сигнала x_o = Re(Ck), y_o=Im(Ck). Извлечение информации о абсолютных значениях параметров скорости на сигнале затруднительно, поскольку частоты соответствующие им находятся относительно близко к нулевой и амплитудный спектр может не иметь отчетливого максимума в этой области. Для нахождения скорости, ускорения, "ускорения ускорения", и т.д. применяется дифференцирование, т.е. находим dZ(t)/dt. и опять берем преобразование Фурье от этой функции. Теперь скорости находятся как: Vx = Re(Ck`), Vy=Im(Ck`). Аналогичное делаем с ускорением и т.д.
Вообще-то, советую не зацикливаться на преобразовании Фурье, ввиду его крайне узкой применимости вопреки расхожему мнению. Например, если имеется малое количество достоверных отсчётов сигнала z(t), (например 7шт) и взятых с пропаданием входного сигнала, т.е. между этими отсчетами есть ещё и неизмеренные отсчёты, то методом Фурье ничего нельзя будет сделать. Тут гораздо лучше использовать различные аппроксимации линейными или нелинейными функциями учитывающие пропадание отсчётов, в которых в явном виде фигурируют искомые параметры входного сигнала!